Cohnovo kritérium neredukovatelnosti - Cohns irreducibility criterion - Wikipedia

Kritérium neredukovatelnosti Arthura Cohna je dostatečná podmínka pro a polynomiální být neredukovatelné v ${ displaystyle mathbb {Z} [x]}$ —Takže je to nefaktorovatelné do součinu polynomů nižšího stupně s celočíselnými koeficienty.

Kritérium se často uvádí takto:

Pokud prvočíslo

{ displaystyle p}

je vyjádřen v základna 10 jako

{ displaystyle p = a_ {m} 10 ^ {m} + a_ {m-1} 10 ^ {m-1} + cdots + a_ {1} 10 + a_ {0}}

(kde

{ displaystyle 0 leq a_ {i} leq 9}

) pak polynom

{ displaystyle f (x) = a_ {m} x ^ {m} + a_ {m-1} x ^ {m-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0}}

je neredukovatelný v

{ displaystyle mathbb {Z} [x]}

.

Větu lze zobecnit na jiné báze následujícím způsobem:

Předpokládat, že

{ displaystyle b geq 2}

je přirozené číslo a

{ displaystyle p (x) = a_ {k} x ^ {k} + a_ {k-1} x ^ {k-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0}}

je polynom takový, že

{ displaystyle 0 leq a_ {i} leq b-1}

. Li

{ displaystyle p (b)}

je tedy prvočíslo

{ displaystyle p (x)}

je neredukovatelný v

{ displaystyle mathbb {Z} [x]}

.

Verze věty base-10 je přičítána Cohnovi Pólya a Szegő v jedné ze svých knih^[1] zatímco zobecnění na jakoukoli základnu b je kvůli Brillhartovi, Filaseta, a Odlyzko.^[2]

V roce 2002 Ram Murty poskytl zjednodušený důkaz a také nějakou historii věty v článku, který je k dispozici online.^[3]

Opakem tohoto kritéria je, že pokud p je neredukovatelný polynom s celočíselnými koeficienty, které mají největší společný dělitel 1, pak existuje taková základna, že koeficienty p tvoří reprezentaci prvočísla v této základně; to je Bunyakovsky dohad a jeho pravda nebo nepravda zůstává otevřenou otázkou.

Historické poznámky

Polya a Szegő dali své vlastní zevšeobecnění, ale má mnoho vedlejších podmínek (například na místech kořenů)^{[Citace je zapotřebí ]} takže mu chybí elegance zobecnění Brillhart, Filaseta a Odlyzko.
Z kontextu je zřejmé, že „A. Cohnem“, který zmiňují Polya a Szegő, je Arthur Cohn (1894–1940), student Issai Schur který získal doktorát z Frederick William University v roce 1921.^[4]^[5]

Viz také

Reference

^ Pólya, George; Szegő, Gábor (1925). Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd 2. Springer, Berlín. OCLC 73165700. Anglický překlad v: Pólya, George; Szegő, Gábor (2004). Problémy a věty v analýze, svazek 2. 2. Springer. str. 137. ISBN 978-3-540-63686-1.
^ Brillhart, John; Filaseta, Michael; Odlyzko, Andrew (1981). „Na teorém o neredukovatelnosti A. Cohna“. Kanadský žurnál matematiky. 33 (5): 1055–1059. doi:10.4153 / CJM-1981-080-0.
^ Murty, Ram (2002). „Prvočísla a neredukovatelné polynomy“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 109 (5): 452–458. CiteSeerX 10.1.1.225.8606. doi:10.2307/2695645. JSTOR 2695645. (soubor dvi)
^ Arthur Cohn vstup do projektu Mathematics Genealogy Project
^ Siegmund-Schultze, Reinhard (2009). Matematici prchající z nacistického Německa: individuální osudy a globální dopady. Princeton, N.J .: Princeton University Press. str. 346. ISBN 9781400831401.

externí odkazy

„Kritérium neredukovatelnosti A. Cohna“. PlanetMath.

[Polya-1] Pólya, George; Szegő, Gábor (1925). Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd 2. Springer, Berlín. OCLC 73165700. Anglický překlad v: Pólya, George; Szegő, Gábor (2004). Problémy a věty v analýze, svazek 2. 2. Springer. str. 137. ISBN 978-3-540-63686-1.

[Brillhart-2] Brillhart, John; Filaseta, Michael; Odlyzko, Andrew (1981). „Na teorém o neredukovatelnosti A. Cohna“. Kanadský žurnál matematiky. 33 (5): 1055–1059. doi:10.4153 / CJM-1981-080-0.

[3] Murty, Ram (2002). „Prvočísla a neredukovatelné polynomy“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 109 (5): 452–458. CiteSeerX 10.1.1.225.8606. doi:10.2307/2695645. JSTOR 2695645. (soubor dvi)

[4] Arthur Cohn vstup do projektu Mathematics Genealogy Project

[5] Siegmund-Schultze, Reinhard (2009). Matematici prchající z nacistického Německa: individuální osudy a globální dopady. Princeton, N.J .: Princeton University Press. str. 346. ISBN 9781400831401.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]