Objednávka nambooripad - Nambooripad order

V matematice Objednávka nambooripad[1] (také zvaný Částečné pořadí Nambooripad) je určitá přirozenost částečná objednávka na pravidelná poloskupina objeveno uživatelem K S S Nambooripad[2] na konci sedmdesátých let. Protože stejný dílčí řád také nezávisle objevil Robert E Hartwig,[3] někteří autoři to označují jako Objednávka Hartwig – Nambooripad.[4] „Přirozené“ zde znamená, že pořadí je definováno z hlediska operace na poloskupině.

Obecně platí, že pořadí Nambooripad v pravidelné semigroup je nekompatibilní s množením. Je kompatibilní s násobením pouze v případě, že je poloskupina pseudo-inverzní (lokálně inverzní).

Předchůdci

Částečné pořadí Nambooripad je zobecněním dříve známého částečného pořadí na množině idempotents v každém poloskupina. Částečné pořadí na scéně E idempotentů v poloskupině S je definována takto: Pro všechny E a F v E, E ≤ F kdyby a jen kdyby E = ef = fe.

Vagner v roce 1952 to rozšířil na inverzní poloskupiny takto: Pro všechny A a b v inverzní poloskupině S, A ≤ b kdyby a jen kdyby A = např pro někoho idempotentního E vS. V symetrická inverzní poloskupina, toto pořadí se vlastně shoduje se zahrnutím částečných transformací považovaných za množiny. Toto částečné pořadí je kompatibilní s násobením na obou stranách, tedy pokud A ≤ b pak ac ≤ před naším letopočtem a ca. ≤ cb pro všechny C vS.

Nambooripad rozšířil tyto definice na běžné poloskupiny.

Definice (běžná poloskupina)

Částečné pořadí v normální poloskupině objevené Nambooripad lze definovat několika ekvivalentními způsoby. Tři z těchto definic jsou uvedeny níže. Rovnocennost těchto definic a dalších definic byla stanovena Mitschem.[5]

Definice (Nambooripad)

Nechat S být jakoukoli pravidelnou poloskupinou a S1 být poloskupinou získanou připojením identity 1 k S. Pro všechny X v S nechat RX být Zelená třída R. z S obsahující X. Vztah RX ≤ Ry definován xS1 ⊆ yS1 je částečná objednávka ve sbírce Zelené třídy R. vS. Pro A a b v S vztah ≤ definovaný

  • A ≤ b kdyby a jen kdyby RA ≤ Rb a A = fb pro některé idempotentní F vRA

je částečná objednávka v S. Toto je přirozené částečné pořadí vS.

Definice (Hartwig)

Pro jakýkoli prvek A v normální poloskupině S, nechť PROTI(A) být množina inverzí z A, tj. soubor všech X v S takhle axa = A a xax = X. Pro A a b v S vztah ≤ definovaný

  • A ≤ b kdyby a jen kdyby a'a = a'b a aa '  = ba ' pro některé A' vPROTI(A)

je částečná objednávka v S. Toto je přirozené částečné pořadí v S.

Definice (Mitsch)

Pro A a b v normální poloskupině S vztah ≤ definovaný

  • A ≤ b kdyby a jen kdyby A = xa = xb = podle pro nějaký prvek X a y vS

je částečná objednávka v S. Toto je přirozené částečné pořadí v S.

Rozšíření na libovolné poloskupiny (P.R. Jones)

Pro A a b v libovolné poloskupině S, A ≤J b pokud existují E, F idempotents in S1 takhle A = být = fb.

Jedná se o reflexivní vztah na jakoukoli poloskupinu, a pokud S je pravidelné, shoduje se s objednávkou Nambooripad.[6]

Přirozené částečné pořadí Mitsche

Mitsch dále zobecnil definici řádu Nambooripad na libovolné poloskupiny.[7][8]

Nejnápadnější formulace Mitschova řádu je následující. Nechat A a b být dvěma prvky libovolné poloskupiny S. Pak A ≤M b pokud existují t a s v S1 takhle tb = ta = A = tak jako = bs.

Obecně platí, že pro libovolnou poloskupinu ≤J je podmnožina ≤M. Pro epigroup shodují se však. Dále pokud b je běžným prvkem S (které nemusí být všechny pravidelné), pak pro všechny A v S a ≤J b iff a ≤M b.[6]

Viz také

Reference

  1. ^ Thomas Scott Blyth (2005). Mřížky a uspořádané algebraické struktury. Springer. str.228 –232. ISBN  978-1-85233-905-0.
  2. ^ K.S.S. Nambooripad (1980). "Přirozené částečné pořadí na normální poloskupině". Sborník Edinburgh Mathematical Society. 23 (3): 249–260. doi:10.1017 / s0013091500003801.
  3. ^ R. Hartwig (1980). Msgstr "Jak částečně objednat pravidelné prvky". Mathematica Japonica. 25 (1): 1–13.
  4. ^ J.B.Hickey (2004). „O zachování pravidelnosti na poloskupině“. Bulletin of Australian Mathematical Society. 69: 69–86. doi:10.1017 / s0004972700034274.
  5. ^ H. Mitsch (červenec 1986). "Přirozené částečné pořadí pro poloskupiny" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 97 (3): 384. doi:10.1090 / s0002-9939-1986-0840614-0. Citováno 11. dubna 2011.
  6. ^ A b Peter M. Higgins (1992). Techniky teorie poloskupin. Oxford University Press. str.46 –48. ISBN  978-0-19-853577-5.
  7. ^ Peter M. Higgins (1994). "Mitschův řád na poloskupině". Semigroup Forum. 49 (1): 261–266. doi:10.1007 / BF02573488.
  8. ^ Mario Petrich (2001). "Určité dílčí objednávky na semigroup" (PDF). Československý matematický časopis. 51 (2): 415–432. doi:10.1023 / a: 1013711417539. hdl:10338.dmlcz / 127657. Citováno 11. dubna 2011.