Munnova poloskupina - Munn semigroup - Wikipedia

V matematice je Munn poloskupina je inverzní poloskupina izomorfismů mezi hlavními ideály a semilattice (komutativní poloskupina idempotentů). Munnské poloskupiny jsou pojmenovány pro skotského matematika Walter Douglas Munn (1929–2008).^[1]

Stavební kroky

Nechat ${ displaystyle E}$ být semilattice.

1) Pro všechny E v E, definujeme Ee: = {i ∈ E : i ≤ E} což je hlavní ideál zE.

2) Pro všechny E, F v E, definujeme T_E,F jako soubor izomorfismy z Ee naSrov.

3) Munnova poloskupina semilattice E je definován jako: T_E := ${ displaystyle bigcup _ {e, f in E}}$ { T_E,F : (E, F) ∈ U}.

Provoz poloskupiny je složení částečné mapování. Ve skutečnosti to můžeme pozorovat T_E ⊆ Já_E kde Já_E je symetrická inverzní poloskupina protože všechny izomorfismy jsou částečné mapy one-one z podmnožin E na podmnožinyE.

The idempotents Munnovy poloskupiny jsou mapy totožnosti 1_Ee.

Teorém

Pro každou semilattice ${ displaystyle E}$, semilattice idempotentů z ${ displaystyle T_ {E}}$ je izomorfní s E.

Příklad

Nechat ${ displaystyle E = {0,1,2, ... }}$. Pak ${ displaystyle E}$ je semilattice pod obvyklým uspořádáním přirozených čísel (${ displaystyle 0 <1 <2 <...}$). Hlavní ideály ${ displaystyle E}$ jsou tedy ${ displaystyle En = {0,1,2, ..., n }}$ pro všechny ${ displaystyle n}$. Takže hlavní ideály ${ displaystyle Em}$ a ${ displaystyle En}$ jsou izomorfní právě tehdy ${ displaystyle m = n}$.

Tím pádem ${ displaystyle T_ {n, n}}$ = {${ displaystyle 1_ {En}}$} kde ${ displaystyle 1_ {En}}$ je mapa identity od En k sobě samému a ${ displaystyle T_ {m, n} = emptyset}$ -li ${ displaystyle m not = n}$. Poloskupinový produkt ${ displaystyle 1_ {em}}$ a ${ displaystyle 1_ {En}}$ je ${ displaystyle 1_ {E operatorname {min} {m, n }}}$V tomto příkladu ${ displaystyle T_ {E} = {1_ {E0}, 1_ {E1}, 1_ {E2}, ldots } cong E.}$

Reference

• Howie, John M. (1995), Úvod do teorie poloskupin, Oxford: Oxfordská vědecká publikace.
• Mitchell, James D. (2011), Munnské poloskupiny polovičních ploch o velikosti nejvýše 7.