Funkce lineární odezvy - Linear response function

A funkce lineární odezvy popisuje vztah vstup-výstup a převodník signálu jako je rádiové soustružení elektromagnetické vlny do hudby nebo a neuron otáčení synaptický vstup do odpovědi. Kvůli mnoha aplikacím v teorie informace, fyzika a inženýrství existují alternativní názvy pro specifické funkce lineární odezvy, jako např citlivost, impulsní odezva nebo impedance, viz také přenosová funkce. Koncept a Greenova funkce nebo zásadní řešení z obyčejná diferenciální rovnice úzce souvisí.

Matematická definice

Označte vstup systému pomocí ${displaystyle h (t)}$ (např platnost ) a odpověď systému ${displaystyle x (t)}$ (např. pozice). Obecně platí, že hodnota ${displaystyle x (t)}$ bude záviset nejen na současné hodnotě ${displaystyle h (t)}$, ale také na minulé hodnoty. Přibližně ${displaystyle x (t)}$ je vážený součet předchozích hodnot ${displaystyle h (t ')}$, s váhami danými funkcí lineární odezvy ${displaystyle chi (t-t ')}$:

${displaystyle x (t) = int _ {- infty} ^ {t} dt ', chi (t-t') h (t ') + tečky,.}$

Výslovný termín na pravé straně je vedoucí pořadí termín a Expanze Volterra pro plnou nelineární odezvu. Pokud je dotyčný systém vysoce nelineární, stávají se důležité termíny vyššího řádu v expanzi, označené tečkami, a signální převodník nelze adekvátně popsat pouze jeho funkcí lineární odezvy.

Komplexní Fourierova transformace ${displaystyle {ilde {chi}} (omega)}$ funkce lineární odezvy je velmi užitečný, protože popisuje výstup systému, pokud je vstupem sinusová vlna ${displaystyle h (t) = h_ {0} cdot sin (omega t)}$ s frekvencí ${displaystyle omega}$. Přečte se výstup

${displaystyle x (t) = | {ilde {chi}} (omega) | cdot h_ {0} cdot sin (omega t + arg {ilde {chi}} (omega)) ,,}$

s zesílení amplitudy ${displaystyle | {ilde {chi}} (omega) |}$ a fázový posun ${displaystyle arg {ilde {chi}} (omega)}$.

Příklad

Zvažte a tlumený harmonický oscilátor se vstupem od externí hnací síly ${displaystyle h (t)}$,

${displaystyle {ddot {x}} (t) + gamma {dot {x}} (t) + omega _ {0} ^ {2} x (t) = h (t).,}$

Komplexní Fourierova transformace funkce lineární odezvy je dána vztahem

${displaystyle {ilde {chi}} (omega) = {frac {{ilde {x}} (omega)} {{ilde {h}} (omega)}} = {frac {1} {omega _ {0} ^ {2} -omega ^ {2} + igamma omega}}.,}$

Zisk amplitudy je dán velikostí komplexního čísla ${displaystyle {ilde {chi}} (omega),}$ a fázový posun arktanem imaginární části funkce, dělený skutečnou.

Z této reprezentace vidíme, že pro malé ${displaystyle gamma}$ Fourierova transformace ${displaystyle {ilde {chi}} (omega)}$ funkce lineární odezvy poskytuje výrazné maximum ("Rezonance ") na frekvenci ${displaystyle omega cca omega _ {0}}$. Funkce lineární odezvy pro harmonický oscilátor je matematicky identická s funkcí harmonického oscilátoru RLC obvod. Šířka maxima ${displaystyle, Delta omega,}$ obvykle je mnohem menší než ${displaystyle omega _ {0},}$ takže Faktor kvality ${displaystyle S: = omega _ {0} / Delta omega}$ může být extrémně velká.

Kubo vzorec

Expozice teorie lineární odezvy v kontextu kvantová statistika, lze nalézt v příspěvku od Ryogo Kubo.^[1] To definuje zejména Kubo vzorec, který považuje obecný případ, že „síla“ h (t) je narušením základního operátora systému, Hamiltonian, ${displaystyle {hat {H}} _ {0} o {hat {H}} _ {0} -h (t ') {hat {B}} (t'),}$ kde ${displaystyle {hat {B}}}$ odpovídá měřitelné veličině jako vstupu, zatímco výstup x (t) je narušení tepelného očekávání jiné měřitelné veličiny ${displaystyle {hat {A}} (t)}$. Kuboův vzorec poté definuje kvantově statistický výpočet citlivost ${displaystyle chi (t-t ')}$ obecným vzorcem zahrnujícím pouze uvedené operátory.

V důsledku zásady kauzalita funkce s komplexní hodnotou ${displaystyle {ilde {chi}} (omega)}$ má póly pouze v dolní polorovině. To vede k Kramers-Kronigovy vztahy, který spojuje skutečnou a imaginární část ${displaystyle {ilde {chi}} (omega)}$ integrací. Nejjednodušší příklad je ještě jednou tlumený harmonický oscilátor.^[2]

Viz také

• Konvoluce
• Vztahy zeleno-kubo
• Fluktuační věta
• Disperze (optika)
• Lindbladova rovnice
• Semilineární odpověď
• Greenova funkce
• impulsní odezva
• Formální rezoluce
• Propagátor

Reference

externí odkazy

• Funkce lineární odezvy in Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN  978-3-89336-953-9