Gaussian racionální - Gaussian rational

v matematika, a Gaussian racionální číslo je a komplexní číslo formuláře p + Qi, kde p a q jsou oba racionální čísla Soubor všech gaussovských racionálů tvoří gaussovský racionál pole, označeno Q(i), získaný přilehlým k imaginární číslo i do oblasti racionálních.

Vlastnosti pole

Pole gaussovských racionálů poskytuje příklad an algebraické číslo pole, což je a kvadratické pole a a cyklotomické pole (od té doby i je čtvrtý kořen jednoty ). Jako všechna kvadratická pole je to Galoisovo rozšíření z Q s Galoisova skupina cyklický objednávky dva, v tomto případě generované komplexní konjugace, a je tedy abelian rozšíření z Q, s dirigent 4.^[1]

Stejně jako u cyklotomických polí obecně, pole gaussovských racionů není ani jedno objednal ani kompletní (jako metrický prostor). The Gaussova celá čísla Z[i] tvoří kruh celých čísel z Q(i). Soubor všech gaussovských racionálů je počítatelně nekonečný.

Fordovy koule

Koncept Ford kruhy lze zobecnit z racionálních čísel na gaussovské racionály a dát tak sféry Fordu. V této konstrukci jsou komplexní čísla vložena jako rovina v trojrozměrném Euklidovský prostor, a pro každý gaussovský racionální bod v této rovině se vytvoří koule tečná k rovině v tomto bodě. Pro Gaussian racionální reprezentován v nejnižších termínech jako ${ displaystyle p / q}$, poloměr této koule by měl být ${ displaystyle 1 / q { bar {q}}}$ kde ${ displaystyle { bar {q}}}$ představuje komplexní konjugát z ${ displaystyle q}$. Výsledné sféry jsou tečna pro dvojice Gaussových racionálů ${ displaystyle P / Q}$ a ${ displaystyle p / q}$ s ${ displaystyle | Pq-pQ | = 1}$, a jinak se neprotínají navzájem.^[2][3]

Reference

Tento teorie čísel související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.