Artin zákon o vzájemnosti - Artin reciprocity law

The Artin zákon o vzájemnosti, který byl založen Emil Artin in a series of papers (1924; 1927; 1930), is a general theorem in teorie čísel který tvoří ústřední součást globálního teorie pole.^[1] Termín "zákon o vzájemnosti "odkazuje na dlouhou řadu konkrétnějších číselných teoretických výroků, které zobecnila, z zákon o kvadratické vzájemnosti a zákony o vzájemnosti z Eisenstein a Kummer na Hilberta vzorec produktu pro symbol normy. Artinův výsledek poskytl částečné řešení Hilbertův devátý problém.

Tvrzení

Nechat L⁄K. být Galoisovo rozšíření z globální pole a C_L stát za idèle třída skupina z L. Jedno z prohlášení Artin zákon o vzájemnosti je, že existuje kanonický izomorfismus zvaný mapa globálních symbolů ^[2][3]

${ displaystyle theta: C_ {K} / {N_ {L / K} (C_ {L})} na operatorname {Gal} (L / K) ^ { text {ab}},}$

kde ab označuje abelianizaci skupiny. Mapa ${ displaystyle theta}$ je definována sestavením map zvaných místní Artin symbol, místní mapa vzájemnosti nebo symbol zbytku normy^[4][5]

${ displaystyle theta _ {v}: K_ {v} ^ { times} / N_ {L_ {v} / K_ {v}} (L_ {v} ^ { times}) na G ^ { text {ab}},}$

pro různá místa proti z K.. Přesněji, ${ displaystyle theta}$ je dán místními mapami ${ displaystyle theta _ {v}}$ na proti-komponent idèle třídy. Mapy ${ displaystyle theta _ {v}}$ jsou izomorfismy. Toto je obsah místní zákon o vzájemnosti, hlavní věta o teorie místní třídy pole.

Důkaz

Cohomologického důkazu o globálním zákonu o vzájemnosti lze dosáhnout tím, že se nejprve stanoví

${ displaystyle ( operatorname {Gal} (K ^ {sep} / K), varinjlim C_ {L})}$

představuje a formace třídy ve smyslu Artin a Tate.^[6] Pak to jeden dokazuje

${ displaystyle { hat {H}} ^ {0} ( operatorname {Gal} (L / K), C_ {L}) simeq { hat {H}} ^ {- 2} ( operatorname {Gal } (L / K), mathbb {Z}),}$

kde ${ displaystyle { hat {H}} ^ {i}}$ označit Skupiny Tate cohomology. Vypracování kohomologických skupin to potvrzuje θ je izomorfismus.

Význam

Artinův zákon o vzájemnosti předpokládá popis abelianizace absolutního Galoisova skupina a globální pole K. který je založen na Hasse lokálně-globální princip a používání Frobenius prvky. Spolu s Věta o existenci Takagi, používá se k popisu abelian rozšíření z K. z hlediska aritmetiky K. a pochopit chování nonarchimedean místa v nich. Artinův zákon vzájemnosti lze proto interpretovat jako jednu z hlavních vět globální teorie pole. Může to být použito k prokázání toho Artin L-funkce jsou meromorfní a pro důkaz Věta o Chebotarevově hustotě.^[7]

Dva roky po zveřejnění svého obecného zákona o vzájemnosti v roce 1927 znovu objevil Artin přenášet homomorfismus I. Schura a použil zákon o vzájemnosti k překladu problém principalizace pro ideální třídy algebraických číselných polí do skupinové teoretické úlohy určovat jádra přenosů konečných neabelovských skupin.^[8]

Konečná rozšíření globálních polí

Definice Artinovy ​​mapy pro a konečný abelian rozšíření L/K. z globální pole (například konečné abelianské prodloužení ${ displaystyle mathbb {Q}}$) má konkrétní popis ve smyslu hlavní ideály a Frobenius prvky.

Li ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je vrcholem K. pak skupiny rozkladu prvočísel ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ výše ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ jsou stejné v Gal (L/K.), protože druhá skupina je abelian. Li ${ displaystyle { mathfrak {p}}}$ je unramified v L, pak skupina rozkladu ${ displaystyle D _ { mathfrak {p}}}$ je kanonicky izomorfní s Galoisovou skupinou rozšíření polí zbytků ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L, { mathfrak {P}}} / { mathfrak {P}}}$ přes ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K, { mathfrak {p}}} / { mathfrak {p}}}$. V Gal je tedy kanonicky definovaný Frobeniův prvek (L/K.) označeno ${ displaystyle mathrm {Frob} _ { mathfrak {p}}}$ nebo ${ displaystyle left ({ frac {L / K} { mathfrak {p}}} right)}$. Pokud Δ označuje relativní diskriminující z L/K., Artin symbol (nebo Artin mapanebo (globální) mapa vzájemnosti) z L/K. je definován na skupina frakčních ideálů prime-to-Δ, ${ displaystyle I_ {K} ^ { Delta}}$, podle linearity:

${ displaystyle { begin {cases} left ({ frac {L / K} { cdot}} right): I_ {K} ^ { Delta} longrightarrow operatorname {Gal} (L / K) prod _ {i = 1} ^ {m} { mathfrak {p}} _ {i} ^ {n_ {i}} longmapsto prod _ {i = 1} ^ {m} vlevo ({ frac {L / K} {{ mathfrak {p}} _ {i}}} vpravo) ^ {n_ {i}} end {případů}}}$

The Artin zákon o vzájemnosti (nebo globální zákon o vzájemnosti) uvádí, že existuje modul C z K. tak, že Artinova mapa vyvolává izomorfismus

${ displaystyle I_ {K} ^ { mathbf {c}} / i (K _ { mathbf {c}, 1}) mathrm {N} _ {L / K} (I_ {L} ^ { mathbf { c}}) { overset { sim} { longrightarrow}} mathrm {Gal} (L / K)}$

kde K._C,1 je paprsek modulo C, N_L/K. je mapa norem přidružená k L/K. a ${ displaystyle I_ {L} ^ { mathbf {c}}}$ je dílčí ideály L připravit na C. Takový modul C se nazývá a definující modul pro L/K.. Nejmenší definující modul se nazývá dirigent L/K. a obvykle se označuje ${ displaystyle { mathfrak {f}} (L / K).}$

Příklady

Kvadratická pole

Li ${ displaystyle d neq 1}$ je celé číslo bez čtverce, ${ displaystyle K = mathbb {Q},}$ a ${ displaystyle L = mathbb {Q} ({ sqrt {d}})}$, pak ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / mathbb {Q})}$ lze identifikovat pomocí {± 1}. Diskriminační Δ z L přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$ je d nebo 4d podle toho, zda d ≡ 1 (mod 4) nebo ne. Artinová mapa je poté definována na prvočíslech str které nedělí Δ

${ displaystyle p mapsto left ({ frac { Delta} {p}} right)}$

kde ${ displaystyle left ({ frac { Delta} {p}} right)}$ je Symbol Kronecker.^[9] Přesněji řečeno, dirigent ${ displaystyle L / mathbb {Q}}$ je hlavní ideál (Δ) nebo (Δ) ∞ podle toho, zda je Δ pozitivní nebo negativní,^[10] a Artinová mapa na ideálním prime-to-Δ (n) je dán symbolem Kronecker ${ displaystyle left ({ frac { Delta} {n}} right).}$ To ukazuje, že prvenství str je rozdělen nebo inertní L podle toho, zda ${ displaystyle left ({ frac { Delta} {p}} right)}$ je 1 nebo -1.

Cyklomtomická pole

Nechat m > 1 být buď liché celé číslo, nebo násobek 4, nechť ${ displaystyle zeta _ {m}}$ být primitivní mth kořen jednoty a nechte ${ displaystyle L = mathbb {Q} ( zeta _ {m})}$ být mth cyklotomické pole. ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / mathbb {Q})}$ lze identifikovat pomocí ${ displaystyle ( mathbb {Z} / m mathbb {Z}) ^ { times}}$ zasláním σ do A_σ dané pravidlem

${ displaystyle sigma ( zeta _ {m}) = zeta _ {m} ^ {a _ { sigma}}.}$

Dirigent ${ displaystyle L / mathbb {Q}}$ je (m)∞,^[11] a mapa Artin na prime-to-m ideální (n) je jednoduše n (mod m) v ${ displaystyle ( mathbb {Z} / n mathbb {Z}) ^ { times}.}$^[12]

Vztah ke kvadratické vzájemnosti

Nechat str a ${ displaystyle ell}$ být odlišné liché prvočísla. Pro větší pohodlí si dovolte ${ displaystyle ell ^ {*} = (- 1) ^ { frac { ell -1} {2}} ell}$ (což je vždy 1 (mod 4)). Potom to říká kvadratická vzájemnost

${ displaystyle left ({ frac { ell ^ {*}} {p}} right) = left ({ frac {p} { ell}} right).}$

Vztah mezi kvadratickými a Artinovými zákony vzájemnosti je dán studiem kvadratického pole ${ displaystyle F = mathbb {Q} ({ sqrt { ell ^ {*}}})}$ a cyklotomické pole ${ displaystyle L = mathbb {Q} ( zeta _ { ell})}$ jak následuje.^[9] První, F je podpole z L, takže když H = Gal (L/F) a ${ displaystyle G = operatorname {Gal} (L / mathbb {Q}),}$ pak ${ displaystyle operatorname {Gal} (F / mathbb {Q}) = G / H.}$ Protože druhý má pořadí 2, podskupina H musí být skupina čtverců v ${ displaystyle ( mathbb {Z} / ell mathbb {Z}) ^ { times}.}$ Základní vlastnost Artinova symbolu říká, že pro každý ideál prime-to-ℓ (n)

${ displaystyle left ({ frac {F / mathbb {Q}} {(n)}} right) = left ({ frac {L / mathbb {Q}} {(n)}} vpravo) { pmod {H}}.}$

Když n = str, to ukazuje ${ displaystyle left ({ frac { ell ^ {*}} {p}} right) = 1}$ jen tehdy, str modulo ℓ je v H, tj. právě tehdy, str je čtvercové modulo ℓ.

Prohlášení ve smyslu L-funkce

Alternativní verze zákona o vzájemnosti vedoucí k Langlandsův program, spojuje Artin L-funkce spojené s abelianskými rozšířeními a pole s číslem s funkcemi Hecke L spojenými s postavami skupiny tříd idèle.^[13]

A Hecke charakter (nebo Größencharakter) číselného pole K. je definován jako a kvazicharakter skupiny idèle třídy K.. Robert Langlands interpretoval Hecke znaky jako automorfní formy na reduktivní algebraická skupina GL(1) přes prsten adeles z K..^[14]

Nechat ${ displaystyle E / K}$ být abelian Galois rozšíření s Galoisova skupina G. Pak pro všechny charakter ${ displaystyle sigma: G to mathbb {C} ^ { times}}$ (tj. jednorozměrný komplex zastoupení skupiny G), existuje znak Hecke ${ displaystyle chi}$ z K. takhle

${ displaystyle L_ {E / K} ^ { mathrm {Artin}} ( sigma, s) = L_ {K} ^ { mathrm {Hecke}} ( chi, s)}$

kde levá strana je L-funkce Artin spojená s příponou se znakem σ a pravá strana je L-funkce Hecke spojená s χ, část 7.D z.^[14]

Formulace Artinova zákona o vzájemnosti jako rovnosti L-funkce umožňuje formulaci zobecnění na n-dimenzionální reprezentace, ačkoli přímá korespondence stále chybí.

Poznámky

Reference

• Emil Artin (1924) „Über eine neue Art von L-Reihen“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 3: 89–108; Shromážděné dokumenty, Addison Wesley (1965), 105–124
• Emil Artin (1927) „Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 5: 353–363; Shromážděné dokumenty, 131–141
• Emil Artin (1930) "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7: 46–51; Shromážděné dokumenty, 159–164
• Frei, Günther (2004), „K historii Artinova zákona o vzájemnosti v abelianských rozšířeních algebraických číselných polí: jak byl Artin veden k jeho zákonu o vzájemnosti“, Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (eds.), Dědictví Nielse Henrika Abela. Příspěvky z dvousté výroční konference Ábela, University of Oslo, Oslo, Norsko, 3. - 8. června 2002, Berlín: Springer-Verlag, str. 267–294, ISBN  978-3-540-43826-7, PAN  2077576, Zbl  1065.11001
• Janusz, Gerald (1973), Algebraická pole číselČistá a aplikovaná matematika, 55Akademický tisk, ISBN  0-12-380250-4
• Lang, Serge (1994), Algebraická teorie čísel, Postgraduální texty z matematiky, 110 (2. vyd.), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94225-4, PAN  1282723
• Lemmermeyer, Franz (2000), Zákony o vzájemnosti: Od Eulera po Eisenstein, Springer Monografie z matematiky, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66957-9, PAN  1761696, Zbl  0949.11002
• Milne, James (2008), Teorie pole třídy (v4.0 ed.), vyvoláno 2010-02-22
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraická teorie číselGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322„Přeložil z němčiny Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3-540-65399-6, Zbl  0956.11021
• Serre, Jean-Pierre (1979), Místní pole, Postgraduální texty z matematiky, 67, přeloženo Greenberg, Marvin Jay, New York, Heidelberg, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3-540-90424-7, Zbl  0423.12016
• Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Místní teorie polního pole", in Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A. (eds.), Algebraická teorie čísel. Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute) s podporou Mezinárodní matematické unie, London: Academic Press, s. 128–161, Zbl  0153.07403
• Tate, Johne (1967), "VII. Global class field theory", in Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A. (eds.), Algebraická teorie čísel. Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute) s podporou Mezinárodní matematické unie, London: Academic Press, s. 162–203, Zbl  0153.07403