Teorie pole místní třídy - Local class field theory
v matematika, teorie místní třídy pole, představil Helmut Hasse,[1] je studium abelian rozšíření z místní pole; zde „místní pole“ znamená pole, které je úplné s ohledem na absolutní hodnotu nebo diskrétní ocenění s konečným polem zbytku: každé místní pole je tedy izomorfní (jako topologické pole) do reálná čísla R, komplexní čísla C, a konečné prodloužení z p-adická čísla Qp (kde p je jakýkoli prvočíslo ), nebo konečné rozšíření pole formální série Laurent Fq((T)) přes konečné pole Fq.
Přístupy k místní polní teorii pole
Teorie pole místní třídy poskytuje popis Galoisova skupina G maximálního abelianského rozšíření místního pole K. prostřednictvím mapy vzájemnosti, která působí z multiplikativní skupiny K.×=K. {0}. Pro konečné abelianské rozšíření L z K. mapa vzájemnosti indukuje izomorfismus kvocientové skupiny K.×/N(L×) z K.× skupinou norem N(L×) rozšíření L× do skupiny Galois Gal (L/K.) rozšíření.[2]
Věta o existenci v teorii pole místní třídy zavádí korespondenci jedna k jedné mezi otevřenými podskupinami konečného indexu v multiplikativní skupině K.× a konečná abelianská rozšíření pole K.. Pro konečné abelianské rozšíření L z K. odpovídající otevřená podskupina konečného indexu je skupina norem N(L×). Mapa vzájemnosti posílá vyšší skupiny jednotek do podskupin s větším rozvětvením, viz např. Ch. IV ze dne.[3]
Pomocí místní mapy vzájemnosti se definuje Hilbertův symbol a jeho zobecnění. Nalezení explicitních vzorců pro ni je jedním z dílčích směrů teorie místních polí, má dlouhou a bohatou historii, viz např. Sergej Vostokov recenze.[4]
Existují kohomologické přístupy a nehomomologické přístupy k teorii místního třídního pole. Kohomologické přístupy bývají nevýslovné, protože používají kalíškový produkt prvních galoisových kohomologických skupin.
Pro různé přístupy k místní teorii pole třídy viz Ch. IV a sek. 7 Ch. IV ze dne [5] Patří mezi ně Hasseův přístup k používání skupiny Brauer, cohomologické přístupy, explicitní metody Jürgen Neukirch, Michiel Hazewinkel, Teorie Lubin-Tate a další.
Zobecnění teorie místní třídy
Zevšeobecnění teorie místní třídy pole na místní pole s polem kvazi-konečných zbytků byla snadným rozšířením teorie, kterou získal G. Whaples v 50. letech 20. století, viz kapitola V[je zapotřebí objasnění ].[6]
Explicitní teorie pole třídy p pro místní pole s dokonalými a nedokonalými poli zbytků, která nejsou konečná, se musí zabývat novým problémem skupin norem nekonečného indexu. Odpovídající teorie byly vytvořeny Ivan Fesenko.[7][8]Fesenkova nekomutativní lokální třídní teorie pole pro aritmeticky profinitní Galoisova rozšíření místních polí studuje příslušnou cyklickou mapu místní reciprocity a její vlastnosti.[9] Tuto aritmetickou teorii lze považovat za alternativu k reprezentaci teoretické místní korespondence Langlands.
Teorie pole vyšší třídy
Pro výškové místní pole existuje vyšší lokální mapa vzájemnosti, která popisuje abelianská rozšíření pole z hlediska otevřených podskupin konečného indexu v Milnor K-skupina pole. Jmenovitě, pokud je -dimenzionální místní pole, které lze použít nebo jeho samostatný kvocient vybavený vhodnou topologií. Když teorie se stává obvyklou místní polní teorií pole. Na rozdíl od klasického případu skupiny Milnor K neuspokojují sestup modulu Galois, pokud . Obecnou vyšší dimenzionální teorii pole místní třídy vyvinul K. Kato a I. Fesenko.
Teorie pole vyšší třídy je součástí teorie pole vyšší třídy který studuje abelianská rozšíření (resp. abelianské obaly) racionálních funkčních polí správných regulárních schémat přes celá čísla.
Viz také
Reference
- ^ Hasse, H. (1930), „Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkörper jako Klassenkörpertheorie im Kleinen.“, Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině), 162: 145–154, doi:10.1515 / crll.1930.162.145, ISSN 0075-4102, JFM 56.0165.03
- ^ Fesenko, Ivan a Vostokov, Sergej, Místní pole a jejich rozšíření, 2. vyd., Americká matematická společnost, 2002, ISBN 0-8218-3259-X
- ^ Fesenko, Ivan a Vostokov, Sergej, Místní pole a jejich rozšíření, 2. vyd., Americká matematická společnost, 2002, ISBN 0-8218-3259-X
- ^ „Sergei V Vostokov, explicitní vzorce pro Hilbertův symbol, pozvánka do vyšších místních polí“. Monografie o geometrii a topologii. 3: 81–90. 2000. doi:10.2140 / gtm.2000.3.
- ^ Fesenko, Ivan a Vostokov, Sergej, Místní pole a jejich rozšíření, 2. vyd., Americká matematická společnost, 2002, ISBN 0-8218-3259-X
- ^ „Sergei V Vostokov, Explicitní vzorce pro Hilbertův symbol, Pozvánka do vyšších místních polí“. Monografie o geometrii a topologii. 3: 81–90. 2000. doi:10.2140 / gtm.2000.3.
- ^ I. Fesenko (1994). "Místní teorie pole: perfektní případ pole zbytku". Izvestiya Mathematics. Ruská akademie věd. 43 (1): 65–81.
- ^ Fesenko, I. (1996). "Na obecných místních recipročních mapách". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 473: 207–222.
- ^ Fesenko, I. (2001). "Nonabelianské mapy místní vzájemnosti". Teorie polního pole - jeho sté výročí a vyhlídka, pokročilá studia v čisté matematice. str. 63–78. ISBN 4-931469-11-6.
Další čtení
- Fesenko, Ivan; Vostokov, Sergey (2002), Místní pole a jejich rozšíření (2. vyd.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-19-504030-2
- Fesenko, Ivan B.; Kurihara, Masato, vyd. (2000), Pozvánka na vyšší místní pole, Monografie o geometrii a topologii, 3 (První vydání), University of Warwick: Vydavatelé matematických věd, doi:10.2140 / gtm.2000.3, ISSN 1464-8989, Zbl 0954.00026
- Iwasawa, Kenkichi (1986), Teorie pole místní třídy Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, PAN 0863740
- Neukirch, Jürgen (1986), Teorie pole třídy Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 280, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15251-4, PAN 0819231
- Serre, Jean-Pierre (1967), „Local class field theory“, in Cassels, John William Scott; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraická teorie čísel (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Thompson, Washington, D.C., str. 128–161, ISBN 978-0-9502734-2-6, PAN 0220701
- Serre, Jean-Pierre (1979) [1962], Corps Locaux (anglický překlad: Local Fields), Postgraduální texty z matematiky, 67, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90424-5, PAN 0150130