Diskriminující algebraické číselné pole - Discriminant of an algebraic number field

v matematika, diskriminující z algebraické číslo pole je číselné neměnný který, volně řečeno, měří velikost (kruh celých čísel pole) algebraické číslo. Přesněji řečeno, je to úměrné čtvercovému objemu základní doména prstence celých čísel a reguluje které připraví jsou rozvětvený.
Diskriminační je jedním z nejzákladnějších invariantů číselného pole a vyskytuje se v několika důležitých analytický vzorce jako je funkční rovnice z Funkce Dedekind zeta z K.a vzorec čísla analytické třídy pro K.. Věta z Poustevník uvádí, že existuje pouze konečně mnoho polí s omezeným diskriminačním činitelem, nicméně určení této veličiny je stále otevřený problém a předmět současného výzkumu.[1]
Diskriminační z K. lze označit jako absolutní diskriminace z K. odlišit od relativní diskriminující z rozšíření K./L číselných polí. Ten druhý je ideál v kruhu celých čísel La stejně jako absolutní diskriminátor označuje, ve kterých prvočíslech se rozvětvuje K./L. Jedná se o zobecnění absolutního diskriminačního režimu L být větší než Q; ve skutečnosti kdy L = Q, relativní diskriminátor K./Q je hlavní ideál z Z generovaný absolutním diskriminátorem K..
Definice
Nechat K. být algebraickým číselným polem a nechat ÓK. být jeho kruh celých čísel. Nechat b1, ..., bn být integrální základ z ÓK. (tj. základ jako a Z-modul ), a nechť {σ1, ..., σn} být soubor vložení K. do komplexní čísla (tj. injekční kruhové homomorfismy K. → C). The diskriminující z K. je náměstí z určující z n podle n matice B jehož (i,j) -entry je σi(bj). Symbolicky,
Ekvivalentně stopa z K. na Q může být použito. Konkrétně definujte stopová forma být maticí, jejíž (i,j) -vstup jeTrK./Q(bibj). Tato matice se rovná BTB, takže diskriminuje K. je determinant této matice.
Příklady
- Pole kvadratického čísla: nechte d být celé číslo bez čtverců, pak diskriminuje je[2]
- Celé číslo, které se vyskytuje jako diskriminátor pole kvadratického čísla, se nazývá a základní diskriminující.[3]
- Cyklomtomická pole: nechte n > 2 je celé číslo, nechť ζn být primitivní nth kořen jednoty a nechte K.n = Q(ζn) být nt. cyklotomické pole. Diskriminační z K.n darováno[2][4]
- kde je Eulerova totientová funkce a produkt ve jmenovateli je nad prvočísly p dělení n.
- Napájecí základny: V případě, že kruh celých čísel má a výkonový integrální základ, to znamená, že lze psát jako ÓK. = Z[α], diskriminující K. se rovná diskriminující z minimální polynom α. Chcete-li to vidět, můžete si vybrat integrální základ ÓK. být b1 = 1, b2 = α, b3 = α2, ..., bn = αn−1. Matice v definici je pak Vandermondeova matice spojené s αi = σi(α), jehož determinant na druhou je
- což je přesně definice diskriminátoru minimálního polynomu.
- Nechat K. = Q(α) je číselné pole získané pomocí sousedící A vykořenit α z polynomiální X3 − X2 − 2X - 8. To je Richard Dedekind Originální příklad číselného pole, jehož kruh celých čísel nemá mocenský základ. Integrální základ je dán vztahem {1, α, α (α + 1) / 2} a diskriminační K. je -503.[5][6]
- Opakované diskriminátory: diskriminátor kvadratického pole jej jednoznačně identifikuje, ale to obecně neplatí pro vyšší stupeň počet polí. Například existují dva neizomorfní kubická pole diskriminačního 3969. Získávají se sousedním kořenem polynomu X3 − 21X + 28 nebo X3 − 21X − 35, resp.[7]
Základní výsledky
- Brillova věta:[8] The podepsat diskriminujícího je (−1)r2 kde r2 je počet složitá místa z K..[9]
- Prime p rozvětvuje se K. kdyby a jen kdyby p dělí ΔK. .[10]
- Stickelbergerova věta:[11]
- Minkowski je spoután:[12] Nechat n označit stupeň rozšíření K./Q a r2 počet složitých míst K., pak
- Minkowského věta:[13] Li K. není Q, pak | ΔK.| > 1 (vyplývá to přímo z vazby Minkowského).
- Hermitova – Minkowského věta:[14] Nechat N být kladné celé číslo. Existuje pouze konečně mnoho (až izomorfismů) algebraických číselných polí K. s | ΔK.| < N. To opět vyplývá z Minkowského vázaného spolu s Hermitovou větou (že existuje jen konečně mnoho algebraických číselných polí s předepsaným diskriminačním).
Dějiny

Definice diskriminátoru obecného algebraického číselného pole, K., dal Dedekind v roce 1871.[15] V tomto bodě již znal vztah mezi diskriminačním a rozvětvením.[16]
Hermitova věta předchází obecnou definici diskriminujícího, když ji Charles Hermite vydal v roce 1857.[17] V roce 1877 Alexander von Brill určil znak diskriminujícího.[18] Leopold Kronecker poprvé uvedl Minkowského teorém v roce 1882,[19] ačkoli první důkaz podal Hermann Minkowski v roce 1891.[20] Ve stejném roce Minkowski zveřejnil své závazky vůči diskriminaci.[21] Ke konci devatenáctého století Ludwig Stickelberger získal svoji větu o zbytku diskriminačního modulu čtyř.[22][23]
Relativní diskriminace
Diskriminační faktor definovaný výše se někdy označuje jako absolutní diskriminující K. odlišit od relativní diskriminující ΔK./L rozšíření číselných polí K./L, což je ideální v ÓL. Relativní diskriminátor je definován způsobem podobným absolutnímu diskriminačnímu, ale musí brát v úvahu tyto ideály ÓL nemusí být jistina a že nemusí být ÓL na základě ÓK.. Nechť {σ1, ..., σn} být soubor vložení K. do C na kterých je totožnost L. Li b1, ..., bn je jakýkoli základ K. přes L, nechť d(b1, ..., bn) být druhou mocninou determinantu n podle n matice, jejíž (i,j) -entry je σi(bj). Potom relativní diskriminátor K./L je ideál generovaný d(b1, ..., bn) tak jako {b1, ..., bn} se mění na všech integrálních základnách K./L. (tj. základy s vlastností, která bi ∈ ÓK. pro všechny i.) Alternativně relativní diskriminátor K./L je norma z odlišný z K./L.[24] Když L = Q, relativní diskriminační ΔK./Q je hlavním ideálem Z generovaný absolutním diskriminačním ΔK. . V věž polí K./L/F relativní diskriminující jsou příbuzní
kde označuje relativní norma.[25]
Rozvětvení
Relativní diskriminátor reguluje rozvětvení údaje o rozšíření pole K./L. Nejlepší ideál p z L rozvětvuje se K. pokud, a pouze pokud, rozdělí relativní diskriminační ΔK./L. Rozšíření není unramified, a pouze v případě, že diskriminační je ideální jednotka.[24] Minkowski svázaný výše ukazuje, že neexistují žádná netriviální unramified rozšíření Q. Pole větší než Q může mít unramified rozšíření: například pro jakékoli pole s číslo třídy větší než jeden, jeho Hilbertovo pole třídy je netriviální unramified rozšíření.
Kořenový diskriminátor
The root diskriminující číselného pole, K.stupně n, často označovaný rdK., je definován jako n-tý kořen absolutní hodnoty (absolutního) diskriminátoru K..[26] Vztah mezi relativními diskriminátory ve věži polí ukazuje, že kořenový diskriminátor se v unramifikovaném rozšíření nemění. Existence a polní věž třídy poskytuje hranice kořenovému diskriminátoru: existenci nekonečné polní věže Q(√-m) kde m = 3 · 5 · 7 · 11 · 19 ukazuje, že pole s rozlišovacím kořenem 2 je nekonečně mnoho√m ≈ 296.276.[27] Pokud to necháme r a 2s být počet skutečných a složitých vložení, takže n = r + 2s, dát ρ = r/n a σ = 2s/n. Soubor α(ρ, σ) být infimum rdK. pro K. s (r ', 2s ') = (ρn, σn). Máme (pro všechny n dostatečně velké) [27]
a za předpokladu, že zobecněná Riemannova hypotéza
Takže máme α(0,1) <296,276. Martinet ukázal α(0,1) <93 a α(1,0) < 1059.[27][28] Voight 2008 dokazuje, že pro zcela reálná pole je root root diskriminant> 14, s 1229 výjimkami.
Vztah k jiným veličinám
- Při vložení do , objem základní domény ÓK. je (někdy jiné opatření je použit a získaný objem je , kde r2 je počet složitých míst K.).
- Díky svému vzhledu v tomto svazku se diskriminant objevuje také ve funkční rovnici funkce Dedekind zeta K., a tedy ve vzorci analytického čísla třídy a Brauer – Siegelova věta.
- Relativní diskriminátor K./L je Artin dirigent z pravidelné zastoupení z Galoisova skupina z K./L. To poskytuje vztah k Artinovým vodičům postavy ze skupiny Galois z K./L, nazvaný vodič-diskriminující vzorec.[29]
Poznámky
- ^ Cohen, Diaz y Diaz a Olivier 2002
- ^ A b Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007), Úvod do moderní teorie číselEncyklopedie matematických věd, 49 (Druhé vydání), s. 130, ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN 0938-0396, Zbl 1079.11002
- ^ Definice 5.1.2 z Cohen 1993
- ^ Návrh 2.7 ze dne Washington 1997
- ^ Dedekind 1878, s. 30–31
- ^ Narkiewicz 2004, str. 64
- ^ Cohen 1993 Věta 6.4.6
- ^ Koch 1997, str. 11
- ^ Lemma 2.2 z Washington 1997
- ^ Dodatek III.2.12 ze dne Neukirch 1999
- ^ Cvičení I.2.7 z Neukirch 1999
- ^ Návrh III.2.14 ze dne Neukirch 1999
- ^ Věta III.2.17 z Neukirch 1999
- ^ Věta III.2.16 z Neukirch 1999
- ^ A b Dedekindův dodatek X druhého vydání Peter Gustav Lejeune Dirichlet je Vorlesungen über Zahlentheorie (Dedekind 1871 )
- ^ Bourbaki 1994
- ^ Poustevník 1857.
- ^ Brill 1877.
- ^ Kronecker 1882.
- ^ Minkowski 1891a.
- ^ Minkowski 1891b.
- ^ Stickelberger 1897.
- ^ Všechna fakta v tomto odstavci naleznete v Narkiewicz 2004, str. 59, 81
- ^ A b Neukirch 1999, §III.2
- ^ Dodatek III.2.10 ze dne Neukirch 1999 nebo návrh III.2.15 ze dne Fröhlich & Taylor 1993
- ^ Voight 2008
- ^ A b C Koch 1997, s. 181–182
- ^ Martinet, Jacques (1978). „Prohlídky tříd a odhady diskriminujících“. Inventiones Mathematicae (francouzsky). 44: 65–73. Bibcode:1978InMat..44 ... 65M. doi:10.1007 / bf01389902. Zbl 0369.12007.
- ^ Oddíl 4.4 Serre 1967
Reference
Primární zdroje
- Brill, Alexander von (1877), „Ueber die Discriminante“, Mathematische Annalen, 12 (1): 87–89, doi:10.1007 / BF01442468, JFM 09.0059.02, PAN 1509928, vyvoláno 2009-08-22
- Dedekind, Richarde (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet (2. vyd.), Vieweg, vyvoláno 2009-08-05
- Dedekind, Richarde (1878), „Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen“, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 23 (1), vyvoláno 2009-08-20
- Poustevník, Charlesi (1857), „Extrait d'une lettre de M. C. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés“, Crelle's Journal, 1857 (53): 182–192, doi:10,1515 / crll.1857.53.182, vyvoláno 2009-08-20
- Kronecker, Leopold (1882), „Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen“, Crelle's Journal, 92: 1–122, JFM 14.0038.02, vyvoláno 2009-08-20
- Minkowski, Hermann (1891a), „Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen“, Crelle's Journal, 1891 (107): 278–297, doi:10,1515 / crll.1891.107.278, JFM 23.0212.01, vyvoláno 2009-08-20
- Minkowski, Hermann (1891b), „Théorèmes d'arithmétiques“, Comptes rendus de l'Académie des sciences, 112: 209–212, JFM 23.0214.01
- Stickelberger, Ludwig (1897), „Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper“, Sborník z prvního mezinárodního kongresu matematiků v Curychu, s. 182–193, JFM 29.0172.03
Sekundární zdroje
- Bourbaki, Nicolasi (1994). Základy dějin matematiky. Přeložil Meldrum, John. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. PAN 1290116.
- Cohen, Henri (1993), Kurz výpočetní algebraické teorie čísel, Postgraduální texty z matematiky, 138, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55640-4, PAN 1228206
- Cohen, Henri; Diaz y Diaz, Francisco; Olivier, Michel (2002), „An Survey of Discrimant Counting“, Fieker, Claus; Kohel, David R. (eds.), Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, July 2002, Přednášky v informatice, 2369, Berlín: Springer-Verlag, str. 80–94, doi:10.1007/3-540-45455-1_7, ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN 0302-9743, PAN 2041075
- Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1993), Algebraická teorie čísel, Cambridge studia pokročilé matematiky, 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834-6, PAN 1215934
- Koch, Helmut (1997), Algebraická teorie čísel, Encycl. Matematika. Sci., 62 (2. tisk 1. vydání), Springer-Verlag, ISBN 3-540-63003-1, Zbl 0819.11044
- Narkiewicz, Władysław (2004), Základní a analytická teorie algebraických číselSpringer Monografie z matematiky (3. vyd.), Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, PAN 2078267
- Neukirch, Jürgen (1999). Algebraická teorie čísel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. PAN 1697859. Zbl 0956.11021.
- Serre, Jean-Pierre (1967), "Local class field theory", in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht (eds.), Algebraická teorie čísel, Sborník z instruktážní konference na University of Sussex, Brighton, 1965, Londýn: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, PAN 0220701
- Voight, John (2008), "Enumeration of total real number fields of bounded root discriminant", in van der Poorten, Alfred J.; Stein, Andreas (eds.), Algoritmická teorie čísel. Sborník, 8. mezinárodní sympozium, ANTS-VIII, Banff, Kanada, květen 2008, Přednášky v informatice, 5011, Berlín: Springer-Verlag, s. 268–281, arXiv:0802.0194, doi:10.1007/978-3-540-79456-1_18, ISBN 978-3-540-79455-4, PAN 2467853, Zbl 1205.11125
- Washington, Lawrence (1997), Úvod do cyklomatomických polí, Postgraduální texty z matematiky, 83 (2. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, PAN 1421575, Zbl 0966.11047
Další čtení
- Milne, James S. (1998), Algebraická teorie čísel, vyvoláno 2008-08-20