Metoda průměrných vážených reziduí - Method of mean weighted residuals

V aplikované matematice metody středních vážených reziduí (MWR) jsou metody řešení diferenciální rovnice. Předpokládá se, že řešení těchto diferenciálních rovnic jsou dobře aproximována konečným součtem testovacích funkcí ${ displaystyle phi _ {i}}$. V takových případech se k nalezení hodnoty koeficientu každé odpovídající testovací funkce použije zvolená metoda vážených reziduí. Výsledné koeficienty jsou vytvořeny tak, aby se minimalizovala chyba mezi lineární kombinací testovacích funkcí a skutečným řešením ve vybrané normě.

Zápis této stránky

Často je velmi důležité nejprve roztřídit notaci použitou před představením způsobu provádění této metody, aby nedošlo k záměně.

• ${ displaystyle u (x)}$ se použije k označení řešení diferenciální rovnice, na kterou se používá metoda MWR.
• Řešení uvedené diferenciální rovnice se nastaví tak, aby odpovídalo nastavení nějaké funkce ${ displaystyle R left (x, u, u_ {x}, ldots, { frac {d ^ {n} u} {dx ^ {n}}} right)}$ nazval „reziduální funkci“ na nulu.
• Každá metoda středních vážených reziduí zahrnuje některé „zkušební funkce“, které budou označeny ${ displaystyle w_ {i}}$.
• Stupně volnosti se označují ${ displaystyle a_ {i}}$.
• Pokud předpokládaná forma řešení diferenciální rovnice ${ displaystyle R left (x, u, u_ {x}, ldots, { frac {d ^ {n} u} {dx ^ {n}}} right) = 0}$ je lineární (ve stupních volnosti), pak základní funkce použité v uvedené formě budou označeny ${ displaystyle phi _ {i}}$.

Matematické vyjádření metody

Metoda středních vážených reziduí se řeší ${ displaystyle R left (x, u, u_ {x}, ldots, { frac {d ^ {n} u} {dx ^ {n}}} right) = 0}$ zavedením těchto stupňů svobody ${ displaystyle a_ {i}}$ jsou takové, že:

${ displaystyle left (R left (x, u, u_ {x}, ldots, { frac {d ^ {n} u} {dx ^ {n}}} right), w_ {i} vpravo) = 0}$

je spokojen. Kde je vnitřní produkt ${ displaystyle (f, g)}$ je vnitřní produkt standardní funkce s ohledem na některé funkce vážení ${ displaystyle r (x)}$ který je určen obvykle sadou základních funkcí nebo libovolně podle toho, která váhová funkce je nejvhodnější. Například, když je základem pouze Čebyševovy polynomy prvního druhu je funkce vážení obvykle ${ displaystyle r (x) = { frac {1} { sqrt {1-x ^ {2}}}}}$ protože vnitřní produkty lze potom snáze vypočítat pomocí a Čebyševova transformace.

Všechny tyto metody mají navíc společné to, že vynucují okrajové podmínky buď vynucením toho, že základní funkce (v případě lineární kombinace) vynucují jednotlivé okrajové podmínky na původním BVP (Funguje to pouze v případě, že okrajové podmínky jsou homogenní, nicméně je možné aplikovat na problémy s nehomogenními okrajovými podmínkami pronajmutím ${ displaystyle u (x) = v (x) + L (x)}$ a dosazení tohoto výrazu do původní diferenciální rovnice a uložení homogenních okrajových podmínek novému hledanému řešení k nalezení u (x), což je v (x), kde L (x) je funkce, která splňuje okrajové podmínky uložené na u, což je známý.), nebo explicitním uložením hranice odstraněním n řádků do matice představující diskretizovaný problém, kde n odkazuje na pořadí diferenciální rovnice a jejich nahrazením těmi, které představují okrajové podmínky.

Volba testovacích funkcí

Volba testovací funkce, jak již bylo zmíněno dříve, závisí na konkrétní použité metodě (pod obecným nadpisem metod střední vážené rezidua). Zde je seznam běžně používaných specifických metod MWR a jejich odpovídajících testovacích funkcí zhruba podle jejich popularity:

• The Galerkinova metoda, který používá samotné základní funkce jako testovací funkce nebo v obecnějším případě nelineárního předpokládaného tvaru (kde nelinearita je ve stupních volnosti) řešení, používá Galerkinova metoda testovací funkce: ${ displaystyle w_ {i} = { frac { částečné u} { částečné a_ {i}}}}$
• The pseudospektrální metoda který používá Dirac delta funkce soustředěný na množinu diskrétních x bodů ${ displaystyle x_ {i}}$ a odpovídá pouze nastavení reziduální funkce na nulu v těchto bodech x.
• Metoda nejmenších čtverců používá testovací funkce: ${ displaystyle w_ {i} = { frac { částečné R} { částečné a_ {i}}}}$. Tato metoda má za následek minimalizaci čtverce L2-norma zbytkové funkce (tj ${ displaystyle | {R} | ^ {2}}$) s ohledem na stupně svobody ${ displaystyle a_ {i}}$.
• Metoda momentů využívá jednoduchou sadu testovacích funkcí ${ displaystyle x ^ {i}}$ a je zřídka kdy implementován, když jsou vyžadovány vysoké stupně přesnosti kvůli výpočtovým problémům spojeným s invertováním Hilbertova matice.

Reference

• Úvod do aplikované matematiky, Wellesley-Cambridge Press (1986).