Ritzova metoda - Ritz method

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Prosince 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Ritzova metoda je přímá metoda k nalezení přibližného řešení pro problémy s hraniční hodnotou. Metoda je pojmenována po Walther Ritz, i když se také běžně nazývá Rayleigh-Ritzova metoda.

v kvantová mechanika, systém částic lze popsat pomocí "energetické funkce" nebo Hamiltonian, která bude měřit energii jakékoli navrhované konfigurace uvedených částic. Ukazuje se, že určité privilegované konfigurace jsou pravděpodobnější než jiné konfigurace, a to má co do činění s vlastní analýza („analýza charakteristik“) tohoto Hamiltonovský systém. Protože je často nemožné analyzovat všechny nekonečné konfigurace částic, abychom našli tu s nejmenším množstvím energie, stává se nezbytnou schopnost nějakým způsobem přiblížit tento hamiltonián za účelem numerické výpočty.

K dosažení tohoto cíle lze použít Ritzovu metodu. V jazyce matematiky je to přesně ten Metoda konečných prvků slouží k výpočtu vlastní vektory a vlastní čísla Hamiltonovského systému.

Diskuse

Stejně jako u ostatních variační metody, a funkce zkušební vlny, ${ displaystyle Psi}$, je v systému testováno. Tato zkušební funkce je vybrána tak, aby splňovala okrajové podmínky (a jakákoli další fyzická omezení). Přesná funkce není známa; zkušební funkce obsahuje jeden nebo více nastavitelných parametrů, které se mění tak, aby nalezly konfiguraci s nejnižší energií.

Je možné ukázat, že energie základního stavu, ${ displaystyle E_ {0}}$, uspokojuje nerovnost:

${ displaystyle E_ {0} leq { frac { langle Psi | { hat {H}} | Psi rangle} { langle Psi | Psi rangle}}.}$

To znamená, že energie základního stavu je menší než tato hodnota. Funkce zkušební vlny vždy poskytne očekávanou hodnotu větší nebo rovnou hodnotě pozemní energie.

Pokud je známo, že funkce zkušební vlny je ortogonální do základního stavu, pak poskytne hranici pro energii nějakého vzrušeného stavu.

Funkce Ritz ansatz je lineární kombinací N známé základní funkce ${ displaystyle left lbrace Psi _ {i} right rbrace}$, parametrizováno neznámými koeficienty:

${ displaystyle Psi = součet _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} Psi _ {i}.}$

U známého hamiltoniánu můžeme jeho očekávanou hodnotu zapsat jako

${ displaystyle varepsilon = { frac { left langle displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} Psi _ {i} right | { hat {H}} left | displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} Psi _ {i} pravý rangle} { levý langle levý. displaystyle sum _ {i = 1} ^ { N} c_ {i} Psi _ {i} doprava | displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} Psi _ {i} doprava rangle}} = { frac { displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} c_ {i} ^ {*} c_ {j} H_ {ij}} { displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} c_ {i} ^ {*} c_ {j} S_ {ij}}} equiv { frac {A} {B}}.}$

Základní funkce obvykle nejsou ortogonální, takže překrývající se matice S má nenulové nediagonální prvky. Buď ${ displaystyle left lbrace c_ {i} right rbrace}$ nebo ${ displaystyle left lbrace c_ {i} ^ {*} right rbrace}$ (konjugace první) lze použít k minimalizaci očekávané hodnoty. Například vytvořením dílčích derivátů ${ displaystyle varepsilon}$ přes ${ displaystyle left lbrace c_ {i} ^ {*} right rbrace}$ nula, pro každého se získá následující rovnost k = 1, 2, ..., N:

${ displaystyle { frac { částečné varepsilon} { částečné c_ {k} ^ {*}}} = { frac { displaystyle součet _ {j = 1} ^ {N} c_ {j} (H_ {kj} - varepsilon S_ {kj})} {B}} = 0,}$

což vede k souboru N sekulární rovnice:

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} c_ {j} left (H_ {kj} - varepsilon S_ {kj} right) = 0 quad { text {for}} quad k = 1,2, dots, N.}$

Ve výše uvedených rovnicích energie ${ displaystyle varepsilon}$ a koeficienty ${ displaystyle left lbrace c_ {j} right rbrace}$ nejsou známy. S ohledem na C, toto je homogenní sada lineárních rovnic, která má řešení, když určující koeficientů těchto neznámých je nula:

${ displaystyle det left (H- varepsilon S right) = 0,}$

což platí pouze pro N hodnoty ${ displaystyle varepsilon}$. Navíc, protože Hamiltonian je a poustevnický operátor, H matice je také poustevník a hodnoty ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ bude skutečný. Nejnižší hodnota mezi ${ displaystyle varepsilon _ {i}}$ (i = 1,2, .., N), ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$, bude nejlepší aproximací základního stavu pro použité základní funkce. Zbývající N-1 energie jsou odhady energií excitovaného stavu. Aproximace vlnové funkce stavu i lze získat nalezením koeficientů ${ displaystyle left lbrace c_ {j} right rbrace}$ z odpovídající sekulární rovnice.

Vztah s metodou konečných prvků

V jazyce metody konečných prvků matice ${ displaystyle H_ {kj}}$ je přesně to matice tuhosti hamiltoniánu v části po částech lineárního prvku a matice ${ displaystyle S_ {kj}}$ je hmotnostní matice. V jazyce lineární algebry hodnota ${ displaystyle epsilon}$ je vlastní číslo diskretizovaného hamiltoniánu a vektoru ${ displaystyle c}$ je diskretizovaný vlastní vektor.

Viz také

• Rayleigh – Ritzova metoda
• Teorie Sturm – Liouville
• Hilbertův prostor
• Galerkinova metoda

Zdroje

Doklady

• Walter Ritz (1909) „Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik“ Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, sv. 135, strany 1–61. Dostupné online na: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=261182 .
• J.K. MacDonald, „Postupné aproximace metodou Rayleigh – Ritzovy variace“, Phys. Rev. 43 (1933) 830 K dispozici online na adrese: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.43.830

externí odkazy

• SpringerLink - Ritzova metoda
• Gander, Martin J .; Wanner, Gerhard (2012). „Od Eulera, Ritze a Galerkina po moderní výpočetní techniku“. Recenze SIAM. 54 (4): 627–666. doi:10.1137/100804036.