Multiplikativně uzavřená sada - Multiplicatively closed set

v abstraktní algebra, a multiplikativně uzavřená množina (nebo multiplikativní sada) je podmnožina S a prsten R tak, aby platily následující dvě podmínky:^[1][2]

• ${displaystyle 1in S}$,
• ${displaystyle xyin S}$ pro všechny ${displaystyle x, yin S}$.

Jinými slovy, S je Zavřeno při přijímání konečných výrobků, včetně prázdný produkt 1.^[3]Ekvivalentně je multiplikativní sada a submonoid multiplikátoru monoidní prstenu.

Multiplikativní sady jsou důležité zejména v komutativní algebra, kde jsou zvyklí stavět lokalizace komutativních prstenů.

Podmnožina S prstenu R je nazýván nasycený je-li uzavřen za převzetí dělitele: tj. kdykoli produkt xy je v S, elementy X a y jsou v S také.

Příklady

Mezi běžné příklady multiplikativních sad patří:

• the set-teoretický doplněk a primární ideál v komutativním kruhu;
• sada {1, X, X², X³, ...}, kde X je prvek prstenu;
• soubor Jednotky prstenu;
• soubor nenulové dělitele v kruhu;
• 1 + Já za ideál Já.

Vlastnosti

• Ideál P komutativního kruhu R je hlavní, právě když je jeho doplňkem R ∖ P je multiplikativně uzavřeno.
• Podmnožina S je nasycený i multiplikativně uzavřený právě tehdy S je doplňkem a svaz nejlepších ideálů.^[4] Zejména doplněk hlavního ideálu je jak nasycený, tak multiplikativně uzavřený.
• Průsečík rodiny multiplikativních množin je multiplikativní množina.
• Průsečík rodiny nasycených množin je nasycený.

Viz také

• Lokalizace prstenu
• Nastaven pravý jmenovatel

Poznámky

Reference

• M. F. Atiyah a I. G. Macdonald, Úvod do komutativní algebry, Addison-Wesley, 1969.
• David Eisenbud, Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii, Springer, 1995.
• Kaplansky, Irving (1974), Komutativní prsteny (Přepracované vydání), University of Chicago Press, PAN  0345945
• Serge Lang, Algebra 3. vydání, Springer, 2002.