Konfigurace Cremona – Richmond - Cremona–Richmond configuration

Konfigurace Cremona – Richmond

V matematice je Konfigurace Cremona – Richmond je konfigurace 15 čar a 15 bodů, které mají 3 body na každém řádku a 3 řádky v každém bodě a neobsahují žádné trojúhelníky. To bylo studováno Cremona (1877 ) a Richmond (1900 ). Je to zobecněný čtyřúhelník s parametry (2,2). Své Leviho graf je Tutte – Coxeterův graf.^[1]

Symetrie

Body konfigurace Cremona – Richmond lze identifikovat pomocí ${ displaystyle 15 = { tbinom {6} {2}}}$ neuspořádané páry prvků sady šesti prvků; tyto páry se nazývají duads. Podobně lze linie konfigurace identifikovat pomocí 15 způsobů rozdělení stejných šesti prvků do tří párů; tyto oddíly se nazývají syntezmy. Takto identifikovaný bod konfigurace dopadá na linii konfigurace právě tehdy, když duad odpovídající tomuto bodu je jedním ze tří párů v synthému odpovídajícím linii.^[1]

The symetrická skupina všech permutací šesti prvků, které jsou základem tohoto systému duads a synthemes, působí jako skupina symetrie konfigurace Cremona – Richmond a dává automorfismus skupina konfigurace. Každý příznak konfigurace (dvojice incidentů bod-čára) může být přenesen do každého dalšího příznaku symetrií v této skupině.^[1]

Konfigurace Cremona – Richmond je self-dual: je možné vyměnit body za řádky při zachování všech výskytů konfigurace. Tato dualita dává grafu Tutte-Coxeter další symetrie nad rámec konfigurace Cremona – Richmond, která zaměňuje obě strany jeho bipartice. Tyto symetrie odpovídají vnější automorfismy symetrické skupiny na šesti prvcích.

Realizace

Jakýchkoli šest bodů v obecné poloze ve čtyřrozměrném prostoru určuje 15 bodů, kde čára procházející dvěma body protíná nadrovina přes další čtyři body; duads of the six points correspond one-for-one with these 15. derived points. Any three duads that together form a syntheme determine a line, the intersection line of the three hyperplanes containing two of the three duads in the syntheme, and tento řádek obsahuje každý z bodů odvozených od jeho tří duad. Duády a syntezmy abstraktní konfigurace tedy odpovídají způsobem jedna k jedné, a to způsobem zachovávajícím výskyt, s těmito 15 body a 15 řádky odvozenými od původních šesti bodů, které tvoří realizaci konfigurace. Stejná realizace může být promítnuta do euklidovského prostoru nebo euklidovské roviny.^[1]

Konfigurace Cremona – Richmond má také jednoparametrovou rodinu realizací v rovině s cyklickou symetrií řádu pět.^[2]

Dějiny

Ludwig Schläfli (1858, 1863 ) nalezeno kubické povrchy obsahující sady 15 reálných linií (doplňkové k a Schläfli dvojitá šestka v sadě všech 27 řádků na kubický) a 15 tečných rovin, se třemi přímkami v každé rovině a třemi rovinami v každé přímce. Křižovatka těchto linií a letadel jinou rovinou má za následek 15₃15₃ konfigurace. Specifický vzor výskytu Schläfliho linií a letadel byl později publikován Luigi Cremona (1868 ). Pozorování, že výsledná konfigurace neobsahuje žádné trojúhelníky, bylo provedeno Martinetti (1886), a stejná konfigurace se také objeví v práci Herbert William Richmond (1900 ). Visconti (1916) našel popis konfigurace jako polygon s vlastním nápisem. H. F. Baker použil čtyřrozměrnou realizaci této konfigurace jako průčelí pro dva svazky své učebnice 1922–1925, Principy geometrie. Zacharias (1951) také znovuobjevil stejnou konfiguraci a našel její realizaci s cyklickou symetrií řádu pět.^[3]

Název konfigurace pochází ze studií, které provedla Cremona (1868, 1877 ) a Richmond (1900); snad kvůli některým chybám v jeho díle upadl současný příspěvek Martinettiho do neznáma.^[3]

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d Coxeter (1950); Coxeter (1958). Terminologie duads a synthemes je z Sylvester (1844), ale Sylvester zachází s těmito systémy dvojic a oddílů v kontextu obecnějšího studia n-tic a oddílů množin, nevyhrazuje zvláštní pozornost případu šestičlenné množiny a nepřisuzuje množinám žádný geometrický význam. .
^ Zacharias (1951); Boben & Pisanski (2003); Boben a kol. (2006).
^ ^A ^b Tato historie a většina odkazů v ní jsou čerpány z Boben a kol. (2006). Odkaz na Bakera pochází z Coxeter (1950).

Reference

Boben, M .; Pisanski, T. (2003), „Polycyklické konfigurace“ (PDF), European Journal of Combinatorics, 24 (4): 431–457, doi:10.1016 / S0195-6698 (03) 00031-3, PAN 1975946
Boben, Marko; Grünbaum, Branko; Pisanski, Tomaž; Žitnik, Arjana (2006), "Malé trojúhelníkové konfigurace bodů a čar" (PDF), Diskrétní a výpočetní geometrie, 35 (3): 405–427, doi:10.1007 / s00454-005-1224-9, PAN 2202110.
Coxeter, H. S. M. (1950), „Self-dual configurations and regular graphs“, Bulletin of the American Mathematical Society, 56: 413–455, doi:10.1090 / S0002-9904-1950-09407-5, PAN 0038078.
Coxeter, H. S. M. (1958), „Dvanáct bodů v PG (5,3) s 95040 autotransformacemi“, Sborník královské společnosti A, 247 (1250): 279–293, doi:10.1098 / rspa.1958.0184, JSTOR 100667.
Cremona, L. (1868), „Mémoire de géométrie pure sur les povrchy du troisieme ordre“, J. Reine Angew. Matematika., 68: 1–133. Jak uvádí Boben a kol. (2006).
Cremona, L. (1877), Teoremi stereometrici dal quali si deducono le proprietà dell 'esagrammo di Pascal, Atti della R. Accademia dei Lincei, 1
Grünbaum, Branko (2009), Konfigurace bodů a čar, Postgraduální studium matematiky, 103„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4308-6, PAN 2510707
Martinetti, V. (1886), "Sopra alcune configurazioni piane", Annali di Matematica Pura ed Applicata, Řada 2, 14 (1): 161–192, doi:10.1007 / BF02420733.
Richmond, H. W. (1900), „Na obrázku šesti bodů v prostoru čtyř dimenzí.“, Kvart. J., 31: 125–160
Schläfli, L. (1858), „Pokus určit dvacet sedm čar na povrchu třetího řádu a rozdělit tyto povrchy na druhy s ohledem na realitu čar na povrchu.“, Kvart. J. Pure Appl. Matematika., 2: 55–65, 110–120.
Schläfli, L. (1863), „O distribuci povrchů třetího řádu do druhů s ohledem na absenci nebo přítomnost singulárních bodů a realitu jejich linií“, Filozofické transakce královské společnosti, 153: 193–241, doi:10.1098 / rstl.1863.0010.
Sylvester, J. J. (1844), „Základní výzkumy v analýze kombinatorické agregace“ (PDF), Phil. Mag., Řada 3, 24: 285–295, doi:10.1080/14786444408644856.
Visconti, E. (1916), "Sulle configurazioni piane atrigone", Giornale di Matematiche di Battaglini, 54: 27–41. Jak uvádí Boben a kol. (2006).
Zacharias, Max (1951), „Streifzüge im Reich der Konfigurationen: Eine Reyesche Konfiguration (15₃), Stern- und Kettenkonfigurationen ", Mathematische Nachrichten, 5: 329–345, doi:10,1002 / mana 19510050602, PAN 0043473.

externí odkazy

[cc-1] A ^b ^C ^d Coxeter (1950); Coxeter (1958). Terminologie duads a synthemes je z Sylvester (1844), ale Sylvester zachází s těmito systémy dvojic a oddílů v kontextu obecnějšího studia n-tic a oddílů množin, nevyhrazuje zvláštní pozornost případu šestičlenné množiny a nepřisuzuje množinám žádný geometrický význam. .

[2] Zacharias (1951); Boben & Pisanski (2003); Boben a kol. (2006).

[bgpz-3] A ^b Tato historie a většina odkazů v ní jsou čerpány z Boben a kol. (2006). Odkaz na Bakera pochází z Coxeter (1950).

[1]

[2]

[3]