Konfigurace Reye - Reye configuration

Konfigurace Reye

V matematice je Konfigurace Reye, představil Theodor Reye  (1882 ), je konfigurace 12 bodů a 16 řádků. Každý bod konfigurace patří do čtyř řádků a každý řádek obsahuje tři body. Proto v zápisu konfigurací je konfigurace Reye zapsána jako 12₄16₃.

Realizace

Konfiguraci Reye lze realizovat trojrozměrně projektivní prostor tím, že vezmeme čáry jako 12 hran a čtyři dlouhé úhlopříčky a krychle a body jako osm vrcholů krychle, její střed a tři body, kde se skupiny čtyř rovnoběžných hran krychle setkávají s rovinou v nekonečnu. Dva normální čtyřstěn mohou být zapsány do krychle, tvořící a stella octangula; tyto dva čtyřstěny jsou vzájemně perspektivními postavami čtyřmi různými způsoby a další čtyři body konfigurace jsou jejich středy perspektivity. Tyto dva čtyřstěny společně se čtyřstěnem zbývajících 4 bodů tvoří a desmický systém tří čtyřstěnů.

Jakékoli dvě nesouvislé koule ve trojrozměrném prostoru s různými poloměry mají dvě bitangens dvojité kužele, jejichž vrcholy se nazývají centra podobnosti. Pokud jsou dány tři koule, jejichž středy nejsou kolineární, pak jejich šest středů podobnosti tvoří šest bodů a kompletní čtyřúhelník, jehož čtyři řádky se nazývají osy podobnosti. A pokud jsou dány čtyři koule, jejichž středy nejsou koplanární, pak určují 12 středů podobnosti a 16 os podobnosti, které společně tvoří instanci konfigurace Reye (Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).

Konfiguraci Reye lze také realizovat pomocí bodů a čar v Euklidovské letadlo nakreslením trojrozměrné konfigurace do tříbodová perspektiva. 8. den₃12₂ konfigurace osmi bodů v skutečná projektivní rovina a 12 linií, které je spojují, s připojovacím vzorem krychle, lze rozšířit tak, aby vytvořily konfiguraci Reye, a to pouze v případě, že osm bodů je perspektivní projekce a rovnoběžnostěn (Servatius & Servatius 2010 )

24 permutací bodů ${ displaystyle ( pm 1, pm 1,0,0)}$tvoří vrcholy a 24článková soustředěno na počátek čtyřrozměrného euklidovského prostoru. Těchto 24 bodů také tvoří 24 kořenů v kořenový systém ${ displaystyle D_ {4}}$Mohou být seskupeny do dvojic bodů proti sobě na přímce procházející počátkem. Čáry a roviny procházející počátkem čtyřrozměrného euklidovského prostoru mají geometrii bodů a čar trojrozměrného prostoru projektivní prostor, a v tomto trojrozměrném projektivním prostoru se čáry procházející protilehlými páry těchto 24 bodů a střední roviny procházející těmito body stávají body a liniemi Reyeovy konfigurace (Manivel 2006 ). Obměny ${ displaystyle ( pm 1, pm 1,0,0)}$ tvoří homogenní souřadnice 12 bodů v této konfiguraci.

aplikace

Aravind (2000) poukázal na to, že konfigurace Reye je základem některých důkazů Bell – Kochen – Speckerova věta o neexistenci skrytých proměnných v kvantové mechanice.

Související konfigurace

The Konfigurace Pappus mohou být vytvořeny ze dvou trojúhelníků, které jsou vzájemně perspektivními postavami, třemi různými způsoby, analogicky k interpretaci Reyeovy konfigurace zahrnující desmický čtyřstěn.

Pokud je konfigurace Reye vytvořena z krychle v trojrozměrném prostoru, pak existuje 12 rovin, z nichž každá obsahuje čtyři čáry: šest čelních rovin krychle a šest rovin skrz páry protilehlých okrajů krychle. Protínající těchto 12 rovin a 16 čar s jinou rovinou v obecné poloze vytvoří 16₃12₄ konfigurace, duální konfigurace Reye. Původní konfigurace Reye a její duální dohromady tvoří 28₄28₄ konfigurace (Grünbaum & Rigby 1990 ).

Existuje 574 odlišných konfigurací typu 12₄16₃ (Betten & Betten 2005 ).

Reference

• Aravind, P. K. (2000), „Jak Reyeova konfigurace pomáhá dokázat Bell-Kochen-Speckerovu větu: zvláštní geometrický příběh“ (PDF), Základy fyzikálních dopisů, 13 (6): 499–519, doi:10.1023 / A: 1007863413622, PAN  1814009
• Berger, Marcel (2010), Geometrie odhalena, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-70997-8, ISBN  978-3-540-70996-1, PAN  2724440
• Betten, Anton; Betten, Dieter (2005), „Více o pravidelných lineárních prostorech“ (PDF), Journal of Combinatorial Designs, 13 (6): 441–461, doi:10.1002 / jcd.20055, PAN  2221852.
• Grünbaum, Branko; Rigby, J. F. (1990), „Skutečná konfigurace (21₄)", Journal of the London Mathematical Society, Druhá série, 41 (2): 336–346, doi:10.1112 / jlms / s2-41.2.336, PAN  1067273.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), "22. Reyeova konfigurace", Geometrie a představivost (2. vyd.), New York: Chelsea, s. 134–143, ISBN  978-0-8284-1087-8. Viz také str. 154–157.
• Manivel, L. (2006), „Konfigurace linií a modelů Lieových algeber“, Journal of Algebra, 304 (1): 457–486, arXiv:matematika / 0507118, doi:10.1016 / j.jalgebra.2006.04.029, PAN  2256401. Viz zejména část 2.1, „Konfigurace a zkouška Reye“, s. 460–461.
• Reye, Th. (1882), "Das Problem der Configurationen", Acta Mathematica (v němčině), 1 (1): 93–96, doi:10.1007 / BF02391837, PAN  1554576.
• Servatius, Brigitte; Servatius, Herman (2010), „Zobecněná konfigurace Reye“, Ars Mathematica Contemporanea, 3 (1): 21–27, doi:10.26493/1855-3974.108.423, PAN  2592512.