Schläfli dvojitá šestka - Schläfli double six
V geometrii je Schläfli dvojitá šestka je konfigurace 30 bodů a 12 řádků, zavedeno Schläfli (1858, str. 115). Řádky konfigurace lze rozdělit do dvou podmnožin po šesti řádcích: každý řádek je disjunktní z (zkosit s ) řádky ve své vlastní podmnožině šesti řádků a protíná všechny řádky kromě jedné v druhé podmnožině šesti řádků. Každý z 12 řádků konfigurace obsahuje pět průsečíků a každý z těchto 30 průsečíků patří přesně dvěma řádkům, jednomu z každé podmnožiny, takže v zápis konfigurací Schläfli double six se píše 125302.
Konstrukce
Jak ukázal Schläfli, dvojitá šestka může být postavena z libovolných pěti linií A1, A2, A3, A4, A5, které jsou protínány společnou linií b6, ale jinak jsou v obecná pozice (zejména každé dva řádky Ai a Aj mělo by překroutit a žádné čtyři řádky Ai by měl ležet na společném ovládaný povrch ). Pro každý z pěti řádků Ai, doplňková sada čtyř z pěti řádků má dva kvadratikany: b6 a druhý řádek bi. Těchto pět řádků b1, b2, b3, b4, a b5 takto vytvořené jsou zase protínány další linií, A6. Dvanáct řádků Ai a bi tvoří dvojitou šestku: každý řádek Ai má průsečík s pěti dalšími úsečkami, úsečkami bj pro který i ≠ ja naopak.
Alternativní konstrukcí, která je znázorněna na obrázku, je umístění dvanácti čar šesti středy obličeje a krychle, každý v rovině jeho tváře a všichni dělají stejné úhly vzhledem k hranám krychle.
Související objekty
Obecný kubický povrch obsahuje 27 řádků, mezi nimiž najdete 36 Schläfliho dvojitých šesti konfigurací. Sada 15 linií doplňujících dvojitou šestku, spolu s 15 tečnými rovinami procházejícími trojicí těchto linií, má vzor dopadu jiné konfigurace, Konfigurace Cremona – Richmond.
The průsečíkový graf z dvanácti řádků konfigurace dvojité šestky je dvanáctvertex korunový graf, a bipartitní graf ve kterém každý vrchol sousedí s pěti ze šesti vrcholů opačné barvy. The Leviho graf z dvojité šestky lze získat nahrazením každého okraje korunového grafu dráhou se dvěma okraji. Průsečík celé sady 27 čar na kubické ploše je doplňkem Schläfliho graf.
Reference
- Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8
- Schläfli, Ludwig (1858), Cayley, Arthur (vyd.), „Pokus určit dvacet sedm čar na povrchu třetího řádu a odvodit tyto povrchy druhů, s odkazem na realitu čar na povrchu“, Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 2: 55–65, 110–120