Odstraňuje konfiguraci - Desargues configuration
v geometrie, Odstraňuje konfiguraci je konfigurace o deseti bodech a deseti řádcích, přičemž tři body na řádek a tři řádky na bod. Je pojmenován po Girard Desargues a úzce souvisí s Desarguesova věta, což dokazuje existenci konfigurace.
Stavby
Dva rozměry
Dva trojúhelníky ABC a abc jsou prý v perspektiva centrálně pokud řádky Aa, Bb, a Cc scházejí ve společném bodě, který se nazývá střed perspektivy. Jsou v perspektivně axiálně pokud jsou průsečíky příslušných stran trojúhelníku, X = AB ∩ ab, Y = AC ∩ ac, a Z = před naším letopočtem ∩ před naším letopočtem všechny leží na společné lince, osa perspektivity. Desarguesova věta v geometrii se uvádí, že tyto dvě podmínky jsou ekvivalentní: pokud jsou dva trojúhelníky v perspektivě centrálně, pak musí být také v perspektivě axiálně a naopak. Když k tomu dojde, deset bodů a deset linií dvou perspektiv (šest vrcholů trojúhelníku, tři body křížení a střed perspektivity a šest stran trojúhelníku, tři linie přes odpovídající dvojice vrcholů a osa perspektivity) dohromady tvoří instance konfigurace Desargues.
Tři rozměry
Přestože může být konfigurace Desargues vložena ve dvou rozměrech, má velmi jednoduchou konstrukci ve třech rozměrech: pro libovolnou konfiguraci pěti rovin v obecná pozice v Euklidovský prostor, deset bodů, kde se setkávají tři roviny, a deset přímek tvořených průsečíkem dvou rovin dohromady tvoří instanci konfigurace (Barnes 2012 ). Tato konstrukce úzce souvisí s majetkem, který každý má projektivní rovina který lze vložit do 3-dimenzionálního projektivního prostoru, se řídí Desarguesovou větou. Tato trojrozměrná realizace konfigurace Desargues se také nazývá kompletní pentahedron (Barnes 2012 ).
Čtyři rozměry
The 5článková nebo pentatope (běžný simplexní ve čtyřech rozměrech) má pět vrcholy, deset hrany, deset trojúhelníkové hřebeny (2-dimenzionální tváře) a pět čtyřboká fazety; hrany a hřebeny se navzájem dotýkají ve stejném vzoru jako konfigurace Desargues. Rozšířte každý z okrajů 5článku na řádek, který jej obsahuje (jeho afinní trup ), podobně rozšířit každý trojúhelník 5-buňky do 2-dimenzionální roviny, která ji obsahuje, a protínat tyto čáry a roviny trojrozměrným nadrovina že ani jeden z nich neobsahuje, ani s nimi není paralelní. Každá čára protíná nadrovinu v bodě a každá rovina protíná nadrovinu v přímce; těchto deset bodů a čar tvoří instanci konfigurace Desargues (Barnes 2012 ).
Symetrie
Ačkoli Desarguesova věta vybírá pro své desítky linií a bodů různé role, samotná konfigurace Desargues je více symetrický: žádný z deseti bodů může být vybráno jako střed perspektivity a tato volba určuje, které šest bodů budou vrcholy trojúhelníků a která čára bude osou perspektivity. Konfigurace Desargues má skupina symetrie S5 objednávky 120; to znamená, že existuje 120 různých způsobů permutace bodů a linií konfigurace způsobem, který zachovává její incidence bodových linií (Stroppel a Stroppel 2013 Díky trojrozměrné konstrukci konfigurace Desargues jsou tyto symetrie snadněji patrné: pokud je konfigurace generována z pěti rovin v obecné poloze ve třech rozměrech, pak každá ze 120 různých obměny těchto pěti rovin odpovídá symetrii konfigurace (Barnes 2012 ).
Konfigurace Desargues je sebe-duální, což znamená, že je možné najít shodu z bodů jedné konfigurace Desargues do linií druhé konfigurace a z linií první konfigurace do bodů druhé konfigurace takovým způsobem, že všechny jsou zachovány výskyty konfigurace (Coxeter 1964 ).
Grafy
The Leviho graf konfigurace Desargues, graf, který má jeden vrchol pro každý bod nebo čáru v konfiguraci, je známý jako Desargues graf. Z důvodu symetrií a sebe-duality konfigurace Desargues je graf Desargues a symetrický graf.
Kempe (1886) nakreslí pro tuto konfiguraci jiný graf s deseti vrcholy představujícími jeho deset řádků a se dvěma vrcholy spojenými hranou, kdykoli se odpovídající dvě čáry nesetkají v jednom z bodů konfigurace. Alternativně lze vrcholy tohoto grafu interpretovat tak, že představují body konfigurace Desargues, v takovém případě hrany spojují dvojice bodů, u nichž spojnice není součástí konfigurace. Tato publikace označuje první známý vzhled Petersenův graf v matematické literatuře před 12 lety Julius Petersen použití stejného grafu jako protikladu k zbarvení hran problém.
Související konfigurace
Jako projektivní konfigurace má konfigurace Desargues notaci (103103), což znamená, že každý z jeho deseti bodů dopadá na tři řádky a každý z jeho deseti řádků je shodný se třemi body. Na jeho deset bodů lze pohlížet jedinečným způsobem jako na pár vzájemně zapsaných pětiúhelníky, nebo jako self-napsaný desetiúhelník (Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ). The Desargues graf, 20-vrchol bipartitní symetrický kubický graf, se nazývá proto, že jej lze interpretovat jako Leviho graf konfigurace Desargues, s vrcholem pro každý bod a linii konfigurace a hranou pro každý dopadající pár bod-čára.
Existuje také dalších osm (103103) konfigurace (tj. sady bodů a linií v euklidovské rovině se třemi liniemi na bod a třemi body na linii), které nejsou výskyt-izomorfní do konfigurace Desargues, z nichž jedna je zobrazena vpravo. Ve všech těchto konfiguracích má každý bod tři další body, které s ním nejsou kolineární. Ale v konfiguraci Desargues jsou tyto tři body vždy navzájem kolineární (pokud je vybraný bod středem perspektivity, pak tyto tři body tvoří osu perspektivity), zatímco v jiné konfiguraci zobrazené na obrázku tvoří tyto tři body trojúhelník tří řádků. Stejně jako u konfigurace Desargues lze druhou zobrazenou konfiguraci považovat za dvojici vzájemně zapsaných pětiúhelníků.
Reference
- Barnes, John (2012), „Dualita ve třech rozměrech“, Drahokamy geometrie, Springer, str. 95–97, ISBN 9783642309649
- Coxeter, H.S.M. (1964), Projektivní geometrie„New York: Blaisdell, s. 26–27
- Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometrie a představivost (2. vyd.), New York: Chelsea, s. 119–128, ISBN 0-8284-1087-9
- Kempe, A. B. (1886), „Monografie o teorii matematické formy“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 177: 1–70, doi:10.1098 / rstl.1886.0002
- Stroppel, Bernhild; Stroppel, Markus (2013), „Desargues, doily, duality a výjimečné izomorfismy“ (PDF), Australasian Journal of Combinatorics, 57: 257