Nedesarguesovské letadlo - Non-Desarguesian plane
V matematice, a nedesarguesovské letadlo je projektivní rovina to neuspokojuje Desarguesova věta (pojmenoval podle Girard Desargues ), nebo jinými slovy rovina, která není a Desarguesian letadlo. Věta Desargues je ve všech pravdivá projektivní prostory dimenze ne 2;[1] jinými slovy, jediné projektivní prostory dimenze, které se nerovnají 2, jsou klasické projektivní geometrie přes pole (nebo dělící prsten ). Nicméně, David Hilbert zjistil, že některé projektivní roviny to nesplňují.[2][3] Současný stav znalostí těchto příkladů není úplný.[4]
Příklady
Existuje mnoho příkladů obou konečný a nekonečné nedesarguesovské roviny. Některé ze známých příkladů nekonečných nedesarguesovských letadel zahrnují:
- The Moultonovo letadlo.
- Mufangová letadla přes alternativní dělení prstenů, které nejsou asociativní, jako například projektivní rovina nad oktoniony. Protože všechny konečné alternativní dělící kroužky jsou pole (Artin – Zornova věta ), jediná ne Desarguesianská letadla Moufang jsou nekonečná.
Pokud jde o konečné nedesarguesovské roviny, každá projektivní rovina řádu nejvýše 8 je desarguesiánská, ale existují tři nedesarguesiánské příklady řádu 9, každá s 91 body a 91 liniemi.[5] Oni jsou:
- The Hughesovo letadlo objednávky 9.
- The Hallovo letadlo objednávky 9. Původně objeveno Marshall Hall „Halová letadla jsou podtřídou obecnějších André letadla.
- The dvojí Hallovy roviny řádu 9.
Je známo mnoho dalších konstrukcí konečných i nekonečných nedesarguesovských rovin, viz například Dembowski (1968). Všechny známé konstrukce konečných nedesarguesovských rovin produkují roviny, jejichž řád je řádná primární síla, tj. Celé číslo ve tvaru pE, kde p je prvočíslo a e je celé číslo větší než 1.
Klasifikace
Hanfried Lenz dal klasifikační schéma pro projektivní letadla v roce 1954[6] a to vylepšil Adriano Barlotti v roce 1957.[7] Toto klasifikační schéma je založeno na typech tranzitivnosti mezi řádky povolených kolineační skupina letadla a je známý jako Lenz – Barlottiho klasifikace projektivních rovin. Seznam 53 typů je uveden v Dembowski (1968, str. 124–5) a tabulka tehdy známých výsledků existence (pro kolineační skupiny i pro letadla, která mají takovou kolineační skupinu) v konečných i nekonečných případech na straně 126. Od roku 2007 „jich existuje 36 jako konečné skupiny. Mezi 7 a 12 existuje konečná projektivní rovina a 14 nebo 15 existuje jako nekonečná projektivní rovina. “[4]
Existují i další klasifikační schémata. Jeden z nejjednodušších je založen na typu rovinný ternární kruh (PTR), kterou lze použít ke koordinaci projektivní roviny. Typy jsou pole, šikmá pole, alternativní dělení prstenů, polopole, blízká pole, přímo u polí, quasifields a pravé kvasifieldy.[8]
Kuželosečky a ovály
V desarguesovské projektivní rovině a kónický lze definovat několika různými způsoby, které lze prokázat jako rovnocenné. V nedesarguesovských rovinách tyto důkazy již nejsou platné a různé definice mohou vést k neekvivalentním objektům.[9] Theodore G. Ostrom navrhl jméno konikoidní pro tyto kuželovité obrázky, ale neposkytl formální definici a zdá se, že tento termín není široce používán.[10]
Existuje několik způsobů, jak lze definovat kuželosečky v desarguesovských rovinách:
- Sada absolutních bodů polarity je známá jako a von Staudt kuželovitý. Pokud je rovina definována nad a pole z charakteristický jen dva zdegenerované kuželosečky jsou získány.
- Sada průsečíků odpovídajících čar dvou tužek, které jsou projektivně, ale nikoli perspektivně, příbuzné, je známá jako Steiner kuželovitý. Pokud jsou tužky perspektivně příbuzné, kuželovitý je zdegenerovaný.
- Sada bodů, jejichž souřadnice uspokojují neredukovatelnou homogenní rovnici stupně dva.
Kromě toho v konečné desarguesovské rovině:
- Sada q + 1 bod, žádné tři kolineární v PG (2,q) se nazývá an ovál. Li q je zvláštní, tím Segreova věta, ovál v PG (2,q) je kuželovitý, ve smyslu 3 výše.
- An Ostrom kuželovitý je založen na zobecnění harmonických soustav.
Artzy uvedl příklad Steinerova kuželosečky v rovině Moufang, která není von Staudtova kuželosečka.[11] Garner uvádí příklad von Staudtovy kužely, která není Ostromovou kuželovou v konečné polopolí.[9]
Poznámky
- ^ Desarguesova věta je vakuově pravdivá v dimenzi 1; v dimenzi 2 je to problematické.
- ^ Hilbert, David (1950) [poprvé publikováno v roce 1902], Základy geometrie [Grundlagen der Geometrie] (PDF), Anglický překlad E.J. Townsend (2. vyd.), La Salle, IL: Open Court Publishing, str. 48
- ^ Hilbert, David (1990) [1971], Základy geometrie [Grundlagen der Geometrie], přeložil Leo Unger z 10. německého vydání (2. anglické vydání), La Salle, IL: Open Court Publishing, s. 1 74, ISBN 0-87548-164-7. Podle poznámky pod čarou na této stránce byl původní „první“ příklad, který se objevil v dřívějších vydáních, nahrazen Moultonovým jednodušším příkladem v pozdějších vydáních.
- ^ A b Weibel 2007, str. 1296
- ^ vidět Room & Kirkpatrick 1971 pro popis všech čtyř rovin řádu 9.
- ^ Lenz, Hanfried (1954). „Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat v projektiven Ebenen“. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 57: 20–31. PAN 0061844.
- ^ Barlotti, Adriano (1957). „Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A, a) per cui un piano grafico risulta (A, a) -transitivo“. Boll. Un. Rohož. Ital. 12: 212–226. PAN 0089435.
- ^ Colbourn & Dinitz 2007, str. 723 článek o Finite Geometry od Leo Storme.
- ^ A b Garner, Cyril W L. (1979), „Kuželosečky v konečných projektivních rovinách“, Journal of Geometry, 12 (2): 132–138, doi:10.1007 / bf01918221, PAN 0525253
- ^ Ostrom, T.G. (1981), „Conicoids: Conic-like numbers in Non-Pappian Planes“, Plaumann, Peter; Strambach, Karl (eds.), Geometrie - von Staudtův úhel pohledu, D. Reidel, s. 175–196, ISBN 90-277-1283-2, PAN 0621316
- ^ Artzy, R. (1971), „Kónický y = x2 v Moufang Planes ", Aequationes Mathematicae, 6: 30–35, doi:10.1007 / bf01833234
Reference
- Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968), Úvod do konečných projektivních rovin„New York: Holt, Rinehart a Winston
- Colbourn, Charles J .; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Příručka kombinatorických vzorů (2. vyd.), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-506-8
- Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie, Berlín: Springer Verlag
- Hall, Marshall (1943), „Projektivní letadla“, Transakce Americké matematické společnosti Americká matematická společnost, 54 (2): 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, PAN 0008892
- Hughes, Daniel R .; Piper, Fred C. (1973), Projektivní roviny, New York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Kárteszi, F. (1976), Úvod do konečných geometrií, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN 0-7204-2832-7
- Lüneburg, Heinz (1980), Překladové roviny, Berlín: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
- Room, T. G .; Kirkpatrick, P. B. (1971), Miniquaternion Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
- Sidorov, L.A. (2001) [1994], „Non-Desarguesian geometry“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Stevenson, Frederick W. (1972), Projektivní roviny, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
- Weibel, Charles (2007), „Průzkum nedesarguesovských letadel“, Oznámení AMS, 54 (10): 1294–1303