Konfigurace Grünbaum – Rigby - Grünbaum–Rigby configuration - Wikipedia

Konfigurace Grünbaum-Rigby

V geometrii je Konfigurace Grünbaum – Rigby je symetrický konfigurace skládající se z 21 bodů a 21 linií, se čtyřmi body na každé linii a čtyřmi liniemi v každém bodě. Původně studoval Felix Klein v složitá projektivní rovina v souvislosti s Kleinova kvartika, to bylo poprvé realizováno v Euklidovské letadlo podle Branko Grünbaum a John F. Rigby.

Historie a notace

O konfiguraci Grünbaum – Rigby bylo známo Felix Klein, William Burnside, a H. S. M. Coxeter.^[1] Jeho původní popis Kleinem v roce 1879 označil první výskyt v matematické literatuře o 4-konfiguraci, systému bodů a čar se čtyřmi body na řádek a čtyřmi řádky na bod.^[2]V Kleinově popisu patří tyto body a čáry k složitá projektivní rovina, prostor, jehož souřadnice jsou komplexní čísla spíše než souřadnice reálného čísla euklidovské roviny.

Geometrická realizace této konfigurace jako bodů a čar v Euklidovské letadlo, založené na překrytí tří regulárních heptagramy, byla založena až mnohem později, a Branko Grünbaum a J. F. Rigby  (1990 ). Jejich práce na něm se stala první ze série prací o konfiguracích od Grünbauma a obsahovala první publikované grafické znázornění 4-konfigurace.^[3]

V zápisu konfigurací jsou označeny konfigurace s 21 body, 21 řádky, 4 body na řádek a 4 řádky na bod (21₄). Notace však neurčuje samotnou konfiguraci, pouze její typ (počty bodů, čar a výskytů). Rovněž neurčuje, zda je konfigurace čistě kombinatorická (abstraktní vzor dopadu přímek a bodů), nebo zda jsou body a čáry konfigurace realizovatelné v euklidovské rovině nebo jiné standardní geometrii.₄) je velmi nejednoznačný: existuje neznámý, ale velký počet (kombinatorických) konfigurací tohoto typu, z nichž 200 bylo uvedeno Di Paola & Gropp (1989).^[4]

Konstrukce

Konfiguraci Grünbaum – Rigby lze sestavit ze sedmi bodů pravidelného hráče sedmiúhelník a jeho 14 vnitřních úhlopříček. Chcete-li dokončit 21 bodů a linií konfigurace, musí být tyto rozšířeny o dalších 14 bodů a dalších sedm linií. Zbývajících 14 bodů konfigurace jsou body, kde se navzájem protínají dvojice úhlopříček sedmiúhelníku stejné délky. Ty tvoří dva menší sedmiúhelníky, jeden pro každou ze dvou délek úhlopříčky; strany těchto menších sedmiúhelníků jsou úhlopříčky vnějšího sedmiúhelníku. Každý ze dvou menších sedmiúhelníků má 14 úhlopříček, z nichž sedm je sdíleno s ostatními menšími sedmiúhelníky. Sedm sdílených úhlopříček představuje zbývajících sedm řádků konfigurace.^[5]

Původní konstrukce konfigurace Grünbaum – Rigby od Kleina považovala její body a linie za součást složitá projektivní rovina, spíše než euklidovské letadlo. V tomto prostoru tvoří body a čáry perspektivní středy a osy perspektivní transformace z Kleinova kvartika.^[6] Mají stejný vzor průsečíků mezi řádky jako euklidovská verze konfigurace.

The konečná projektivní rovina ${ displaystyle PG (2,7)}$ má 57 bodů a 57 linií a lze mu dát souřadnice na základě celých čísel modulo 7. V tomto prostoru každý kónický ${ displaystyle C}$ (soubor řešení dvou proměnných kvadratická rovnice modulo 7) má 28 sekanční linie prostřednictvím dvojic jeho bodů, 8 tečny prostřednictvím jediného bodu a 21 nesekančních linií, které jsou disjunktní od ${ displaystyle C}$.Duálně existuje 28 bodů, kde se setkávají dvojice tečných čar, 8 bodů ${ displaystyle C}$a 21 vnitřních bodů, které nepatří k žádné tečné přímce. 21 nesekantických čar a 21 vnitřních bodů tvoří instanci konfigurace Grünbaum – Rigby, což znamená, že tyto body a čáry mají opět stejný vzor průsečíků.^[7]

Vlastnosti

The projektivní duální této konfigurace je systém bodů a linií s bodem pro každou linii konfigurace a linií pro každý bod a se stejnými incidenci bod-linie je stejná konfigurace. The skupina symetrie konfigurace zahrnuje symetrie, které berou jakoukoli dopadající dvojici bodů a čar k jakékoli jiné dvojici dopadů.^[8]Konfigurace Grünbaum – Rigby je příkladem polycyklické konfigurace, tj. Konfigurace s cyklická symetrie, tak, že každý obíhat bodů nebo čar má stejný počet prvků.^[9]

Poznámky

Reference

• Boben, Marko; Pisanski, Tomaž (2003), „Polycyklické konfigurace“, European Journal of Combinatorics, 24 (4): 431–457, doi:10.1016 / S0195-6698 (03) 00031-3, ISSN  0195-6698, PAN  1975946
• Burnside, W. (1907), „O hesenské konfiguraci a jejím spojení se skupinou 360 rovinných rovin“, Proceedings of the London Mathematical Society, Druhá série, 4: 54–71, doi:10.1112 / plms / s2-4.1.54, PAN  1576105
• Coxeter, H. S. M. (1983), „Můj graf“, Proceedings of the London Mathematical Society Třetí série, 46 (1): 117–136, doi:10.1112 / plms / s3-46.1.117, PAN  0684825
• Di Paola, Jane W .; Gropp, Harald (1989), „Hyperbolické grafy z hyperbolických letadel“, Congressus Numerantium, 68: 23–43, PAN  0995852. Jak uvádí Grünbaum (2009).
• Grünbaum, Branko (2009), Konfigurace bodů a čar, Postgraduální studium matematiky, 103„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, doi:10,1090 / g / m2 / 103, ISBN  978-0-8218-4308-6, PAN  2510707
• Grünbaum, Branko; Rigby, J. F. (1990), „Skutečná konfigurace (21₄)", Journal of the London Mathematical Society, Druhá série, 41 (2): 336–346, doi:10.1112 / jlms / s2-41.2.336, PAN  1067273
• Klein, Felix (1879), „Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen“, Mathematische Annalen, 14 (3): 428–471, doi:10.1007 / BF01677143. Přeložil Silvio Levy as do angličtiny Klein, Felix (1999), „O transformaci sedmi řádů eliptických funkcí“, Osminásobná cestaPublikace Výzkumného ústavu matematických věd, 35, Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press, s. 287–331, PAN  1722419