Kleinova konfigurace - Klein configuration
V geometrii je Kleinova konfigurace, studoval Klein (1870 ), je geometrická konfigurace související s Kummerovy povrchy který se skládá ze 60 bodů a 60 letadel, přičemž každý bod leží na 15 letadlech a každé letadlo prochází 15 body. Konfigurace používá 15 párů linek, 12. 13. 14. 15. 16. 23. 24. 25. 26. 34. 35. 36. 45. 46. 56 a jejich reverzy. Těchto 60 bodů jsou tři souběžné linie tvořící lichou permutaci, jak je uvedeno níže. Šedesát rovin jsou 3 koplanární čáry tvořící rovnoměrné permutace, získané obrácením posledních dvou číslic v bodech. Pro jakýkoli bod nebo rovinu existuje 15 členů v druhé sadě obsahující tyto 3 čáry. [Hudson, 1905]
| 12-34-65 | 12-43-56 | 21-34-56 | 21-43-65 | 12-35-46 | 12-53-64 |
| 21-35-64 | 21-53-46 | 12-36-54 | 12-63-45 | 21-36-45 | 21-63-54 |
| 13-24-56 | 13-42-65 | 31-24-65 | 31-42-56 | 13-25-64 | 13-52-46 |
| 31-25-46 | 31-52-64 | 13-26-45 | 13-62-54 | 31-26-54 | 31-62-45 |
| 14-23-65 | 14-32-56 | 41-23-56 | 41-32-65 | 14-25-36 | 14-52-63 |
| 41-25-63 | 41-52-36 | 14-26-53 | 14-62-35 | 41-26-35 | 41-62-53 |
| 15-23-46 | 15-32-64 | 51-23-64 | 51-32-46 | 15-24-63 | 15-42-36 |
| 51-24-36 | 51-42-63 | 15-26-34 | 15-62-43 | 51-26-43 | 51-62-34 |
| 16-23-54 | 16-32-45 | 61-23-45 | 61-32-54 | 16-24-35 | 16-42-53 |
| 61-24-53 | 61-42-35 | 16-25-43 | 16-52-34 | 61-25-34 | 61-52-43 |
Souřadnice bodů a rovin
Možná sada souřadnic bodů (a také rovin!) Je následující:
| P1=[0:0:1:1] | P11=[0:1:-1:0] | P21=[1:1:0:0] | P31=[1:1:-1:1] | P41=[1:-1:i:i] | P51=[1:- i:-1:i] |
| P2=[0:0:1:i] | P12=[0:1:- i:0] | P22=[1:i:0:0] | P32=[1:1:-1:-1] | P42=[1:-1:i:- i] | P52=[1:- i:-1:- i] |
| P3=[0:0:1:-1] | P13=[1:0:0:1] | P23=[1:-1:0:0] | P33=[1:-1:1:1] | P43=[1:-1:- i:i] | P53=[1:i:i:1] |
| P4=[0:0:1:- i] | P14=[1:0:0:i] | P24=[1:- i:0:0] | P34=[1:-1:1:-1] | P44=[1:-1:- i:- i] | P54=[1:i:- i:1] |
| P5=[0:1:0:1] | P15=[1:0:0:-1] | P25=[1:0:0:0] | P35=[1:-1:-1:1] | P45=[1:i:1:i] | P55=[1:- i:i:1] |
| P6=[0:1:0:i] | P16=[1:0:0:- i] | P26=[0:1:0:0] | P36=[1:-1:-1:-1] | P46=[1:i:1:- i] | P56=[1:- i:- i:1] |
| P7=[0:1:0:-1] | P17=[1:0:1:0] | P27=[0:0:1:0] | P37=[1:1:i:i] | P47=[1:- i:1:i] | P57=[1:i:i:-1] |
| P8=[0:1:0:- i] | P18=[1:0:i:0] | P28=[0:0:0:1] | P38=[1:1:- i:i] | P48=[1:- i:1:- i] | P58=[1:i:- i:-1] |
| P9=[0:1:1:0] | P19=[1:0:-1:0] | P29=[1:1:1:1] | P39=[1:1:i:- i] | P49=[1:i:-1:i] | P59=[1:- i:i:-1] |
| P10=[0:1:i:0] | P20=[1:0:- i:0] | P30=[1:1:1:-1] | P40=[1:1:- i:- i] | P50=[1:i:-1:- i] | P60=[1:- i:- i:-1] |
Reference
- Hudson, R. W. H. T. (1990) [1905], „§25. Kleinova 6015 konfigurace", Kummerův křemenný povrch, Matematická knihovna v Cambridge, Cambridge University Press, str. 42–44, ISBN 978-0-521-39790-2, PAN 1097176
- Klein, Felix (1870), „Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades“ (PDF), Mathematische Annalen Springer Berlin / Heidelberg, 2: 198–226, doi:10.1007 / BF01444020, ISSN 0025-5831
- Pokora, Piotr; Szemberg, Tomasz; Szpond, Justyna (2020). "Neočekávané vlastnosti Kleinovy konfigurace 60 bodů v P3". arXiv:2010.08863 [math.AG ]. Ale v původním článku jsou souřadnice P43 nesprávné.