Věta Bruck – Ryser – Chowla - Bruck–Ryser–Chowla theorem

The Brucku –Ryser –Chowla teorém je výsledek na kombinatorika z blokové vzory což znamená neexistenci určitých druhů designu. Uvádí, že pokud (proti, b, r, k, λ) -design existuje s v = b (A symetrický design bloku ), pak:

• -li proti je tedy vyrovnaný k - λ je čtverec;
• -li proti je zvláštní, pak následující Diophantine rovnice má netriviální řešení:

  X² − (k - λ)y² − (−1)^{(v − 1) / 2} λ z² = 0.

Věta byla prokázána v případě projektivních rovin v (Bruck & Ryser 1949 ). To bylo rozšířeno na symetrické vzory v (Ryser & Chowla 1950 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFRyserChowla1950 (Pomoc).

Projektivní roviny

Ve zvláštním případě symetrického návrhu s λ = 1, tj. A projektivní rovina, věta (která je v tomto případě označována jako Věta Bruck – Ryser) lze konstatovat takto: Pokud je konečná projektivní rovina řádu q existuje a q je tedy shodné s 1 nebo 2 (mod 4) q musí být součet dvou čtverců. Všimněte si, že pro projektivní rovinu jsou konstrukční parametry proti = b = q² + q + 1, r = k = q + 1, λ = 1. Tedy, proti je v tomto případě vždy zvláštní.

Věta například vylučuje existenci projektivních rovin řádů 6 a 14, ale umožňuje existenci rovin řádů 10 a 12. Protože se ukázalo, že projektivní rovina řádu 10 neexistuje pomocí kombinace teorie kódování a rozsáhlé počítačové vyhledávání,^[1] podmínka věty zjevně není dostatečná pro existenci designu. Není však známo žádné silnější obecné kritérium neexistence.

Spojení s maticemi dopadu

Existence symetrické (proti, b, r, k, λ) -design je ekvivalentní existenci a proti × proti matice výskytu R s prvky 0 a 1 vyhovující

R R^T = (k - λ)Já + λJ

kde Já je proti × proti matice identity a J je proti × proti all-1 matice. Věta Bruck – Ryser – Chowla je v podstatě konstatováním nezbytných podmínek pro existenci Racionální proti × proti matice R splnění této rovnice. Podmínky uvedené v teorému Bruck – Ryser – Chowla nejsou ve skutečnosti pouze nezbytné, ale také dostatečné pro existenci takové racionální matice R. Mohou být odvozeny z Hasse – Minkowského věta o racionální ekvivalenci kvadratické formy.

Reference

• Bruck, R.H .; Ryser, H. J. (1949), „Neexistence určitých konečných projektivních rovin“, Kanadský žurnál matematiky, 1: 88–93, doi:10.4153 / cjm-1949-009-2
• Chowla, S.; Ryser, H. J. (1950), „Kombinatorické problémy“, Kanadský žurnál matematiky, 2: 93–99, doi:10.4153 / cjm-1950-009-8
• Lam, C. W. H. (1991), „Hledání konečné projektivní roviny řádu 10“, Americký matematický měsíčník, 98 (4): 305–318, doi:10.2307/2323798, JSTOR  2323798
• van Lint, J.H., a R.M. Wilson (1992), Kurz kombinatoriky. Cambridge, Eng .: Cambridge University Press.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Věta Bruck – Ryser – Chowla”. MathWorld.