Sada Caccioppoli - Caccioppoli set

v matematika, a Sada Caccioppoli je soubor jehož hranice je měřitelný a má (alespoň lokálně ) a konečný opatření. Synonymum je množina (místně) konečného obvodu. Sada je v zásadě sada Caccioppoli, pokud je charakteristická funkce je funkce omezené variace.

Dějiny

Základní koncept množiny Caccioppoli poprvé představil italský matematik Renato Caccioppoli v novinách (Caccioppoli 1927 ): s ohledem na sadu letadel nebo a povrch definované na otevřená sada v letadlo, definoval jejich opatření nebo plocha jako celková variace ve smyslu Tonelli jejich definování funkce, tj. jejich parametrické rovnice, za předpokladu, že toto množství bylo ohraničený. The míra hranice množiny byl definován jako funkční, přesně a nastavit funkci, poprvé: také definováno na otevřené sady, lze jej definovat na všech Sady Borel a jeho hodnota může být aproximována hodnotami, které nabývá na vzrůstu síť z podmnožiny. Další jasně uvedenou (a předvedenou) vlastností této funkce byla její nižší polokontinuita.

V příspěvku (Caccioppoli 1928 ), upřesnil pomocí a trojúhelníková síť jako rostoucí síť aproximace otevřené domény, definování pozitivní a negativní variace jehož součet je celková variace, tj oblast funkční. Jeho inspirativní pohled, jak výslovně přiznal, byl ten z Giuseppe Peano, vyjádřený Peano-Jordanovo opatření: spojit se s každou částí povrchu a orientované rovinná plocha podobným způsobem jako přibližný akord je spojena s křivkou. Dalším tématem této teorie bylo také prodloužení a funkční od a podprostor k celku okolní prostor: použití vět zevšeobecňujících Hahnova – Banachova věta se často vyskytuje ve výzkumu Caccioppoli. Omezený význam celková variace ve smyslu Tonelli přidal mnoho komplikací k formálnímu rozvoji teorie a použití parametrického popisu množin omezilo její rozsah.

Lamberto Cesari zavedl "správné" zobecnění funkce omezené variace v případě několika proměnných až v roce 1936:^[1] možná to byl jeden z důvodů, který přiměl Caccioppoli, aby v přednášce představil vylepšenou verzi své teorie až o téměř 24 let později (Caccioppoli 1953 ) na IV UMI Kongres v říjnu 1951, po němž následovalo pět poznámek zveřejněných v Rendiconti z Accademia Nazionale dei Lincei. Tyto poznámky ostře kritizoval Laurence Chisholm Young v Matematické recenze.^[2]

V roce 1952 Ennio de Giorgi představil své první výsledky, rozvíjející myšlenky Caccioppoli, o definici míry hranic množin na Salzburg Kongres Rakouské matematické společnosti: těchto výsledků dosáhl pomocí vyhlazovacího operátoru analogicky k a změkčovač, postavený z Gaussova funkce, nezávisle prokazující některé výsledky Caccioppoli. Ke studiu této teorie ho pravděpodobně vedl jeho učitel a přítel Mauro Picone, který byl také učitelem Caccioppoli a byl také jeho přítelem. De Giorgi se poprvé setkal s Caccioppoli v roce 1953: během jejich setkání Caccioppoli vyjádřil hluboké ocenění jeho práce a zahájil jejich celoživotní přátelství.^[3] Ve stejném roce vydal svůj první příspěvek na toto téma, tj. (De Giorgi 1953 ): tento článek a jeho blízký příspěvek však nepřitáhl velký zájem matematické komunity. Bylo to jen s papírem (De Giorgi 1954 ), znovu přezkoumáno Laurence Chisholm Youngem v Mathematical Reviews,^[4] že jeho přístup k sadám konečného obvodu se stal široce známým a oceněným: Young také v recenzi revidoval svou předchozí kritiku práce Caccioppoliho.

Poslední příspěvek De Giorgi o teorii obvody vyšlo v roce 1958: v roce 1959, po smrti Caccioppoliho, začal sady konečných obvodů nazývat „sady Caccioppoli“. O dva roky později Herbert Federer a Wendell Fleming publikovali svůj příspěvek (Federer & Fleming 1960 ), změna přístupu k teorii. V zásadě představili dva nové druhy proudy, resp normální proudy a integrální proudy: v následující sérii příspěvků a v jeho slavném pojednání,^[5] Federer ukázal, že sady Caccioppoli jsou normální proudy dimenze ${displaystyle n}$ v ${displaystyle n}$-dimenzionální euklidovské prostory. I když lze teorii množin Caccioppoli studovat v rámci teorie proudy, je obvyklé studovat to pomocí „tradičního“ přístupu funkce omezené variace, protože různé oddíly jsou v mnoha důležitých monografie v matematika a matematická fyzika svědčit.^[6]

Formální definice

V následujícím textu bude definice a vlastnosti funkce omezené variace v ${displaystyle n}$-použije se rozměrové nastavení.

Definice Caccioppoli

Definice 1. Nechat ${displaystyle Omega}$ být otevřená podmnožina z ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a nechte ${displaystyle E}$ být Sada Borel. The obvod z ${displaystyle E}$ v ${displaystyle Omega}$ je definována následovně

${displaystyle P (E, Omega) = Vleft (chi _ {E}, Omega ight): = sup left {int _ {Omega} chi _ {E} (x) mathrm {div} {oldsymbol {phi}} (x ), mathrm {d} x: {oldsymbol {phi}} v C_ {c} ^ {1} (Omega, mathbb {R} ^ {n}), | {oldsymbol {phi}} | _ {L ^ {infty } (Omega)} leq 1ight}}$

kde ${displaystyle chi _ {E}}$ je charakteristická funkce z ${displaystyle E}$. To znamená, že obvod ${displaystyle E}$ v otevřené sadě ${displaystyle Omega}$ je definován jako celková variace jeho charakteristická funkce na tom otevřeném setu. Li ${displaystyle Omega = mathbb {R} ^ {n}}$, pak píšeme ${displaystyle P (E) = P (E, mathbb {R} ^ {n})}$ pro (globální) obvod.

Definice 2. The Sada Borel ${displaystyle E}$ je Sada Caccioppoli právě když má v každém konečný obvod ohraničený otevřená podmnožina ${displaystyle Omega}$ z ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, tj.

${displaystyle P (E, Omega) <+ infty}$ kdykoli ${displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ je otevřený a ohraničený.

Sada Caccioppoli má tedy charakteristická funkce jehož celková variace je místně ohraničený. Z teorie funkce omezené variace je známo, že z toho vyplývá existence a vektorová hodnota Radonová míra ${displaystyle Dchi _ {E}}$ takhle

${displaystyle int _ {Omega} chi _ {E} (x) mathrm {div} {oldsymbol {phi}} (x) mathrm {d} x = int _ {E} mathrm {div} {oldsymbol {phi}} ( x), mathrm {d} x = -int _ {Omega} jazyk {oldsymbol {phi}}, Dchi _ {E} (x) úhel qquad pro všechny {oldsymbol {phi}} v C_ {c} ^ {1} ( Omega, mathbb {R} ^ {n})}$

Jak je uvedeno pro případ generála funkce omezené variace tento vektor opatření ${displaystyle Dchi _ {E}}$ je distribuční nebo slabý spád z ${displaystyle chi _ {E}}$. Celková variační míra spojená s ${displaystyle Dchi _ {E}}$ je označen ${displaystyle | Dchi _ {E} |}$, tj. pro každou otevřenou sadu ${displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ píšeme ${displaystyle | Dchi _ {E} | (Omega)}$ pro ${displaystyle P (E, Omega) = V (chi _ {E}, Omega)}$.

De Giorgi definice

Ve svých dokumentech (De Giorgi 1953 ) a (De Giorgi 1954 ), Ennio de Giorgi zavádí následující operátor vyhlazení, analogicky k Weierstrassova transformace v jednom -dimenzionální případ

${displaystyle W_ {lambda} chi _ {E} (x) = int _ {mathbb {R} ^ {n}} g_ {lambda} (xy) chi _ {E} (y) mathrm {d} y = (pi lambda) ^ {- {frac {n} {2}}} int _ {E} e ^ {- {frac {(xy) ^ {2}} {lambda}}} mathrm {d} y}$

Jak lze snadno dokázat, ${displaystyle W_ {lambda} chi (x)}$ je plynulá funkce pro všechny ${displaystyle xin mathbb {R} ^ {n}}$, takový, že

${displaystyle lim _ {lambda o 0} W_ {lambda} chi _ {E} (x) = chi _ {E} (x)}$

také jeho spád je všude dobře definovaná, a tak je i její absolutní hodnota

${displaystyle abla W_ {lambda} chi _ {E} (x) = mathrm {grad} W_ {lambda} chi _ {E} (x) = DW_ {lambda} chi _ {E} (x) = {egin {pmatrix } {frac {částečné W_ {lambda} chi _ {E} (x)} {částečné x_ {1}}} vdots {frac {částečné W_ {lambda} chi _ {E} (x)} {částečné x_ { n}}} end {pmatrix}} Longleftrightarrow left | DW_ {lambda} chi _ {E} (x) ight | = {sqrt {sum _ {k = 1} ^ {n} left | {frac {partial W_ { lambda} chi _ {E} (x)} {částečné x_ {k}}} večer | ^ {2}}}}$

Po definování této funkce dává De Giorgi následující definici obvod:

Definice 3. Nechat ${displaystyle Omega}$ být otevřená podmnožina z ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ a nechte ${displaystyle E}$ být Sada Borel. The obvod z ${displaystyle E}$ v ${displaystyle Omega}$ je hodnota

${displaystyle P (E, Omega) = lim _ {lambda o 0} int _ {Omega} | DW_ {lambda} chi _ {E} (x) | mathrm {d} x}$

De Giorgi ve skutečnosti případ zvážil ${displaystyle Omega = mathbb {R} ^ {n}}$: rozšíření na obecný případ však není obtížné. Lze prokázat, že tyto dvě definice jsou přesně rovnocenné: důkaz naleznete v již citovaných dokumentech nebo knize De Giorgiho (Giusti 1984 ). Nyní, když definoval, co je to obvod, De Giorgi dává stejnou definici 2 toho, co je množina (místně) konečný obvod je.

Základní vlastnosti

Následující vlastnosti jsou běžné vlastnosti, které obecný pojem a obvod má mít:

• Li ${displaystyle Omega subseteq Omega _ {1}}$ pak ${displaystyle P (E, Omega) leq P (E, Omega _ {1})}$s držením rovnosti právě tehdy, když uzavření z ${displaystyle E}$ je kompaktní podmnožina ${displaystyle Omega}$.
• Pro libovolné dvě sady Cacciopoli ${displaystyle E_ {1}}$ a ${displaystyle E_ {2}}$vztah ${displaystyle P (E_ {1} pohár E_ {2}, Omega) leq P (E_ {1}, Omega) + P (E_ {2}, Omega _ {1})}$ drží, s držením rovnosti právě tehdy ${displaystyle d (E_ {1}, E_ {2})> 0}$, kde ${displaystyle d}$ je vzdálenost mezi sadami v euklidovský prostor.
• Pokud Lebesgueovo opatření z ${displaystyle E}$ je ${displaystyle 0}$, pak ${displaystyle P (E) = 0}$: to znamená, že pokud symetrický rozdíl ${displaystyle E_ {1} riangle E_ {2}}$ ze dvou sad má nulovou Lebesgueovu míru, obě sady mají stejný obvod, tj. ${displaystyle P (E_ {1}) = P (E_ {2})}$.

Pojmy hranice

Pro jakoukoli danou sadu Caccioppoli ${displaystyle Esubset mathbb {R} ^ {n}}$ existují dvě přirozeně spojené analytické veličiny: vektorová hodnota Radonová míra ${displaystyle Dchi _ {E}}$ a jeho celková variační míra ${displaystyle | Dchi _ {E} |}$. Vzhledem k tomu

${displaystyle P (E, Omega) = int _ {Omega} | Dchi _ {E} |}$

je obvod v jakékoli otevřené sadě ${displaystyle Omega}$, to by se dalo očekávat ${displaystyle Dchi _ {E}}$ sám by měl nějakým způsobem odpovídat za obvod ${displaystyle E}$.

Topologická hranice

Je přirozené snažit se pochopit vztah mezi objekty ${displaystyle Dchi _ {E}}$, ${displaystyle | Dchi _ {E} |}$a topologická hranice ${displaystyle částečné E}$. Existuje základní lemma, které zaručuje, že Podpěra, podpora (ve smyslu distribuce ) z ${displaystyle Dchi _ {E}}$, a proto také ${displaystyle | Dchi _ {E} |}$, je vždy obsažené v ${displaystyle částečné E}$:

Lemma. Podpora vektorového radonu ${displaystyle Dchi _ {E}}$ je podmnožina z topologická hranice ${displaystyle částečné E}$ z ${displaystyle E}$.

Důkaz. Chcete-li to vidět, vyberte si ${displaystyle x_ {0} další část E}$: pak ${displaystyle x_ {0}}$ patří do otevřená sada ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} setminus částečné E}$ a to znamená, že patří do otevřené sousedství ${displaystyle A}$ obsažené v interiér z ${displaystyle E}$ nebo v interiéru ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} setminus E}$. Nechat ${displaystyle phi in C_ {c} ^ {1} (A; mathbb {R} ^ {n})}$. Li ${displaystyle Asubseteq (mathbb {R} ^ {n} setminus E) ^ {circ} = mathbb {R} ^ {n} setminus E ^ {-}}$ kde ${displaystyle E ^ {-}}$ je uzavření z ${displaystyle E}$, pak ${displaystyle chi _ {E} (x) = 0}$ pro ${displaystyle xin A}$ a

${displaystyle int _ {Omega} langle {oldsymbol {phi}}, Dchi _ {E} (x) angle = -int _ {A} chi _ {E} (x), operatorname {div} {oldsymbol {phi}} (x), mathrm {d} x = 0}$

Stejně tak, pokud ${displaystyle Asubseteq E ^ {circ}}$ pak ${displaystyle chi _ {E} (x) = 1}$ pro ${displaystyle xin A}$ tak

${displaystyle int _ {Omega} langle {oldsymbol {phi}}, Dchi _ {E} (x) angle = -int _ {A} operatorname {div} {oldsymbol {phi}} (x), mathrm {d} x = 0}$

S ${displaystyle phi in C_ {c} ^ {1} (A, mathbb {R} ^ {n})}$ z toho vyplývá libovolně ${displaystyle x_ {0}}$ je mimo podporu ${displaystyle Dchi _ {E}}$.

Zmenšená hranice

Topologická hranice ${displaystyle částečné E}$ Ukázalo se, že je příliš hrubý pro sady Caccioppoli, protože jeho Hausdorffovo opatření překompenzuje obvod ${displaystyle P (E)}$ definované výše. Opravdu, sada Caccioppoli

${displaystyle E = {(x, y): 0leq x, yleq 1} pohár {(x, 0): - 1leq xleq 1} podmnožina mathbb {R} ^ {2}}$

představující čtverec spolu s úsečkou trčící vlevo má obvod ${displaystyle P (E) = 4}$, tj. cizí úsečka je ignorována, zatímco je její topologická hranice

${displaystyle partial E = {(x, 0): - 1leq xleq 1} cup {(x, 1): 0leq xleq 1} cup {(x, y): xin {0,1}, 0leq yleq 1}}$

má jednorozměrné Hausdorffovo měřítko ${displaystyle {mathcal {H}} ^ {1} (částečné E) = 5}$.

„Správná“ hranice by proto měla být podmnožinou ${displaystyle částečné E}$. Definujeme:

Definice 4. The snížená hranice sady Caccioppoli ${displaystyle Esubset mathbb {R} ^ {n}}$ je označen ${displaystyle částečné ^ {*} E}$ a je definován tak, aby se rovnal sběru bodů ${displaystyle x}$ při které je limit:

${displaystyle u _ {E} (x): = lim _ {ho downarrow 0} {frac {Dchi _ {E} (B_ {ho} (x))} {| Dchi _ {E} | (B_ {ho} (x))}} v mathbb {R} ^ {n}}$

existuje a má délku rovnou jedné, tj. ${displaystyle | u _ {E} (x) | = 1}$.

Lze poznamenat, že Radon-Nikodýmova věta snížená hranice ${displaystyle částečné ^ {*} E}$ je nutně obsažen v podpoře ${displaystyle Dchi _ {E}}$, který je zase obsažen v topologické hranici ${displaystyle částečné E}$ jak je vysvětleno v části výše. To je:

${displaystyle partial ^ {*} Esubseteq operatorname {support} Dchi _ {E} subseteq částečné E}$

Výše uvedené zahrnutí nemusí nutně znamenat rovnost, jak ukazuje předchozí příklad. V tomto příkladu ${displaystyle částečné E}$ je čtverec s trčícím segmentem, ${displaystyle operatorname {support} Dchi _ {E}}$ je čtverec a ${displaystyle částečné ^ {*} E}$ je čtverec bez čtyř rohů.

De Giorgiho věta

Pro větší pohodlí v této části pojednáváme pouze o případech, kdy ${displaystyle Omega = mathbb {R} ^ {n}}$, tj. sada ${displaystyle E}$ má (globálně) konečný obvod. De Giorgiho věta poskytuje geometrickou intuici pro představu redukovaných hranic a potvrzuje, že jde o přirozenější definici množin Caccioppoli tím, že ukazuje

${displaystyle P (E) left (= int | Dchi _ {E} | ight) = {mathcal {H}} ^ {n-1} (částečné ^ {*} E)}$

tj. že jeho Hausdorffovo opatření se rovná obvodu množiny. Výrok věty je poměrně dlouhý, protože v jednom úderu vzájemně souvisí různé geometrické představy.

Teorém. Předpokládat ${displaystyle Esubset mathbb {R} ^ {n}}$ je sada Caccioppoli. Pak v každém bodě ${displaystyle x}$ snížené hranice ${displaystyle částečné ^ {*} E}$ existuje mnoho přibližný tečný prostor ${displaystyle T_ {x}}$ z ${displaystyle | Dchi _ {E} |}$, tj. podprostor codimension-1 ${displaystyle T_ {x}}$ z ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ takhle

${displaystyle lim _ {lambda downarrow 0} int _ {mathbb {R} ^ {n}} f (lambda ^ {- 1} (zx)) | Dchi _ {E} | (z) = int _ {T_ {x }} f (y), d {mathcal {H}} ^ {n-1} (y)}$

pro každou souvislou, kompaktně podporovanou ${displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R}}$. Ve skutečnosti podprostor ${displaystyle T_ {x}}$ je ortogonální doplněk jednotkového vektoru

${displaystyle u _ {E} (x) = lim _ {ho downarrow 0} {frac {Dchi _ {E} (B_ {ho} (x))} {| Dchi _ {E} | (B_ {ho} ( x))}} v mathbb {R} ^ {n}}$

definováno dříve. Tento jednotkový vektor také vyhovuje

${displaystyle lim _ {lambda downarrow 0} left {lambda ^ {- 1} (z-x): zin Eight} o left {yin mathbb {R} ^ {n}: ycdot u _ {E} (x)> 0ight}}$

místně v ${displaystyle L ^ {1}}$, takže je interpretován jako přibližné směřování dovnitř jednotka normální vektor na sníženou hranici ${displaystyle částečné ^ {*} E}$. Konečně, ${displaystyle částečné ^ {*} E}$ je (n-1) -napravitelný a omezení (n-1) -dimenzionálního Hausdorffovo opatření ${displaystyle {mathcal {H}} ^ {n-1}}$ na ${displaystyle částečné ^ {*} E}$ je ${displaystyle | Dchi _ {E} |}$, tj.

${displaystyle | Dchi _ {E} | (A) = {mathcal {H}} ^ {n-1} (Acap částečný ^ {*} E)}$ pro všechny sady Borel ${displaystyle Asubset mathbb {R} ^ {n}}$.

Jinými slovy, až ${displaystyle {mathcal {H}} ^ {n-1}}$- změřte nulu na sníženou hranici ${displaystyle částečné ^ {*} E}$ je nejmenší sada, na které ${displaystyle Dchi _ {E}}$ je podporován.

Aplikace

Gauss – zelený vzorec

Z definice vektoru Radonová míra ${displaystyle Dchi _ {E}}$ az vlastností obvodu platí následující vzorec:

${displaystyle int _ {E} operatorname {div} {oldsymbol {phi}} (x), mathrm {d} x = -int _ {částečné E} langle {oldsymbol {phi}}, Dchi _ {E} (x) úhel qquad {oldsymbol {phi}} v C_ {c} ^ {1} (Omega, mathbb {R} ^ {n})}$

Toto je jedna verze věta o divergenci pro domén s hladkým hranice. De Giorgiho věta může být použita k formulování stejné identity, pokud jde o redukovanou hranici ${displaystyle částečné ^ {*} E}$ a přibližný normální vektor jednotky směřující dovnitř ${displaystyle u _ {E}}$. Přesně platí následující rovnost

${displaystyle int _ {E} operatorname {div} {oldsymbol {phi}} (x), mathrm {d} x = -int _ {částečné ^ {*} E} {oldsymbol {phi}} (x) cdot u _ {E} (x), mathrm {d} {mathcal {H}} ^ {n-1} (x) qquad {oldsymbol {phi}} v C_ {c} ^ {1} (Omega, mathbb {R} ^ {n})}$

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy

• O'Neil, Toby Christopher (2001) [1994], "Geometrická míra teorie", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Zagaller, Victor Abramovich (2001) [1994], "Obvod", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Funkce omezené variace v Encyclopedia of Mathematics