Opravitelná sada - Rectifiable set
v matematika, a opravitelná sada je sada, která je jistá hladká míra-teoretická smysl. Jedná se o rozšíření myšlenky a usměrnitelná křivka do vyšších dimenzí; volně řečeno, opravitelná sada je přísnou formulací po částech hladké sady. Jako takový má mnoho požadovaných vlastností hladké rozdělovače, včetně tečných mezer, které jsou definovány téměř všude. Opravitelné sady jsou základním předmětem studia v teorie geometrických měr.
Definice
A Podmnožina Borel z Euklidovský prostor se říká, že je - opravitelné nastavit, pokud je z Hausdorffova dimenze , a existují a počitatelný sbírka průběžně diferencovatelných map
takové, že -Hausdorffovo opatření z
je nula. Zpětné lomítko zde označuje nastavený rozdíl. Ekvivalentně lze považovat za Lipschitz kontinuální beze změny definice.[1][2][3] Jiní autoři mají různé definice, například nevyžadují být -dimenzionální, ale místo toho to vyžaduje je spočetné sjednocení množin, které jsou obrazem Lipschitzovy mapy z nějaké omezené podmnožiny .[4]
Sada se říká, že je čistě -nepravitelný pokud pro každý (kontinuální, rozlišitelné) , jeden má
Standardní příklad čistě-1-neopravitelné sady ve dvou rozměrech je křížovým produktem Sada Smith – Volterra – Cantor krát sám.
Opravitelné sady v metrických prostorech
Federer (1969, s. 251–252) uvádí následující terminologii pro m- opravitelné sady E v obecném metrickém prostoru X.
- E je napravitelný když existuje mapa Lipschitz pro nějakou omezenou podmnožinu z na .
- E je spočetně napravitelný když E se rovná spojení spočetné rodiny opravitelné sady.
- E je spočetně napravitelný když je opatření na X a tam je spočetně opravitelná sada F takhle .
- E je napravitelný když E je spočetně napravitelné a
- E je čistě neopravitelný když je opatření na X a E obsahuje č opravitelná sada F s .
Definice 3 s a je nejblíže výše uvedené definici pro podmnožiny euklidovských prostorů.
Poznámky
- ^ Simon 1984, str. 58, nazývá tuto definici „počítatelně m- opravitelné ".
- ^ "Opravitelná sada", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- ^ Weisstein, Eric W. „Opravitelná sada“. MathWorld. Citováno 2020-04-17.
- ^ Federer (1969, s. 3.2.14)
Reference
- Federer, Herbert (1969), Teorie geometrických měr, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 153, New York: Springer-Verlag, str. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, PAN 0257325CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- T.C.O'Neil (2001) [1994], "Geometrická míra teorie", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Simon, Leon (1984), Přednášky o teorii geometrických měr, Sborník Centra pro matematickou analýzu, 3, Canberra: Centrum pro matematiku a její aplikace (CMA), Australská národní univerzita, str. VII + 272 (volná errata), ISBN 0-86784-429-9, Zbl 0546.49019CS1 maint: ref = harv (odkaz)