Lineární systém dělitelů - Linear system of divisors

v algebraická geometrie, a lineární systém dělitelů je algebraické zobecnění geometrického pojmu a rodina křivek; rozměr lineárního systému odpovídá počtu parametrů rodiny.
Ty vznikly nejprve ve formě a lineární systém z algebraické křivky v projektivní rovina. Postupnou generalizací to dostalo obecnější podobu, o které se dalo mluvit lineární ekvivalence z dělitele D obecně systém nebo dokonce a prstencový prostor (X, ÓX).[1]
Lineární systém dimenze 1, 2 nebo 3 se nazývá a tužka, a síťnebo web, resp.
Mapa určená lineárním systémem se někdy nazývá Mapa Kodaira.
Definice
Vzhledem k základní myšlence a racionální funkce na obecné odrůdě , nebo jinými slovy funkce v funkční pole z , , dělitelé jsou lineárně ekvivalentní dělitele -li
kde označuje dělitele nul a pólů funkce .
Všimněte si, že pokud má singulární body „dělitel“ je ve své podstatě nejednoznačný (Cartier dělitelé, Weil dělitelé: viz dělitel (algebraická geometrie) ). Definice v takovém případě se obvykle říká s větší opatrností (použití invertibilní snopy nebo svazky holomorfní linie ); viz. níže.
A kompletní lineární systém na je definována jako množina všech účinných dělitelů lineárně ekvivalentních s daným dělitelem . Je označen . Nechat být svazek linek přidružený k . V případě, že je nesmyslná projektivní odrůda je v přirozené bijekci s [2][je třeba další vysvětlení ] a je tedy projektivním prostorem.
A lineární systém je pak projektivní podprostor úplného lineárního systému, takže odpovídá vektorovému podprostoru Ž z Dimenze lineárního systému je jeho dimenze jako projektivní prostor. Proto .
Protože třída dělitele Cartier je třídou izomorfismu liniového svazku, lze lineární systémy zavést také pomocí svazek řádků nebo invertibilní svazek jazyk, bez odkazu na dělitele vůbec. V těchto termínech dělitelé (Cartier dělitelé, abych byl přesný) odpovídají svazkům řádků a lineární ekvivalence dvou dělitelů znamená, že odpovídající svazky řádků jsou izomorfní.
Příklady
Lineární ekvivalence
Zvažte svazek linek na jehož sekce definovat kvadrické povrchy. Pro přidruženého dělitele , je lineárně ekvivalentní jakémukoli jinému děliteli definovanému mizejícím místem některých pomocí racionální funkce [2] (Návrh 7.2). Například dělitel spojené s mizejícím místem je lineárně ekvivalentní děliteli spojené s mizejícím místem . Pak je tu ekvivalence dělitelů
Lineární systémy na křivkách
Jeden z důležitých úplných lineárních systémů na algebraické křivce rodu je dán úplným lineárním systémem spojeným s kanonickým dělitelem , označeno . Tato definice vyplývá z tvrzení II.7.7 Hartshorne[2] protože každý efektivní dělitel v lineárním systému pochází z nul některé části .
Hyperelliptické křivky
Při klasifikaci algebraických křivek se používá jedna aplikace lineárních systémů. A hyperelliptická křivka je křivka s konečným stupněm morfismus .[2] Pro případ všechny křivky jsou hyperelliptické: Riemann – Rochova věta pak udává stupeň je a , proto existuje titul mapa na .
Grd
A je lineární systém na křivce což je stupně a rozměr . Například hyperelliptické křivky mají a od té doby definuje jeden. Ve skutečnosti mají hyperelliptické křivky jedinečný [2] z návrhu 5.3. Další úzkou sadou příkladů jsou křivky s a které se nazývají trigonální křivky. Ve skutečnosti má každá křivka a pro .[3]
Lineární systémy hyperplošin v
Zvažte svazek linek přes . Vezmeme-li globální sekce , pak můžeme vzít jeho projektivizaci . To je izomorfní kde
Poté pomocí jakéhokoli vložení můžeme sestrojit lineární dimenzionální systém .
Lineární systém kuželoseček
Další příklady
The Cayley – Bacharachova věta je vlastnost tužky kubických, která uvádí, že základní lokus splňuje vlastnost „8 znamená 9“: jakákoli kubická jednotka obsahující 8 bodů nutně obsahuje devátý.
Lineární systémy v birakční geometrii
Obecně se lineární systémy staly základním nástrojem birational geometrie jak praktikuje Italská škola algebraické geometrie. Technické požadavky se staly docela přísnými; pozdější vývoj vyjasnil řadu otázek. Výpočet příslušných dimenzí - Riemannova – Rochova problému, jak jej lze nazvat - lze lépe formulovat z hlediska homologická algebra. Efekt práce na odrůdách s singulární body je ukázat rozdíl mezi Weil dělitelé (v bezplatná abelianská skupina generovaný codimension-one subdrivers), a Cartier dělitelé pocházející z částí invertibilní snopy.
Italská škola ráda zmenšila geometrii na algebraický povrch k lineárním systémům vyříznutým povrchy ve třech prostorech; Zariski napsal svou slavnou knihu Algebraické povrchy pokusit se spojit metody zahrnující lineární systémy s pevnými základními body. Došlo k polemice, jedné z posledních otázek konfliktu mezi „starým“ a „novým“ hlediskem v algebraické geometrii, nad Henri Poincaré je charakteristický lineární systém algebraické rodiny křivek na algebraickém povrchu.
Základní lokus
The základní lokus lineárního systému dělitelů na a odrůda odkazuje na podskupinu bodů „společných“ pro všechny dělitele v lineárním systému. Geometricky to odpovídá společnému průniku odrůd. Lineární systémy mohou nebo nemusí mít základní lokus - například tužku afinních čar nemá žádný společný průnik, ale vzhledem ke dvěma (nedgenerovaným) kuželosečkám v komplexní projektivní rovině se protínají ve čtyřech bodech (počítají se s multiplicitou), a tedy tužka, kterou definují, má tyto body jako základní lokus.
Přesněji, předpokládejme to je kompletní lineární systém dělitelů na některé odrůdě . Zvažte křižovatku
kde označuje podporu dělitele a křižovatka je převzata ze všech účinných dělitelů v lineárním systému. To je základní lokus z (alespoň jako sada: mohou být jemnější schéma-teoretický úvahy o tom, co struktura svazek z mělo by).
Jednou z aplikací pojmu základní lokus je zločinnost třídy dělitele Cartier (tj. kompletní lineární systém). Předpokládat je taková třída na odrůdu , a neredukovatelná křivka . Li není obsažen v základním lokusu , pak existuje nějaký dělitel ve třídě, která neobsahuje , a tak to správně protíná. Základní fakta z teorie křižovatek nám pak říkají, že musíme mít . Závěrem je, že pro kontrolu nefinity třídy dělitele stačí vypočítat číslo průniku s křivkami obsaženými v základním lokusu třídy. Zhruba řečeno, čím „menší“ je základní lokus, tím „pravděpodobnější“ je, že třída je nef.
V moderní formulaci algebraické geometrie je to kompletní lineární systém dělitelů (Cartier) na různých odrůdách je zobrazen jako svazek řádků na . Z tohoto hlediska je základní lokus je sada společných nul všech sekcí . Jednoduchým důsledkem je, že svazek je globálně generované právě když je základní lokus prázdný.
Pojem základního lokusu má stále smysl i pro neúplný lineární systém: jeho základním lokusem je stále průsečík podpěr všech účinných dělitelů v systému.
Příklad
Zvažte Lefschetzova tužka dané dvěma obecnými sekcemi , tak dané schématem
To má přidružený lineární systém dělitelů od každého polynomu, za pevnou je dělitelem v . Poté je základním lokusem tohoto systému dělitelů schéma dané mizejícím lokusem , tak
Mapa určená lineárním systémem
Každý lineární systém na algebraické odrůdě určuje morfismus od doplňku základního lokusu po projektivní prostor dimenze systému, jak je uvedeno níže. (V jistém smyslu platí i obrácení; viz část níže)
Nechat L být svazek řádků na algebraické odrůdě X a konečný trojrozměrný vektorový podprostor. Kvůli jasnosti nejprve zvážíme případ, kdy PROTI je bez základního bodu; jinými slovy přírodní mapa je surjective (zde, k = základní pole). Nebo ekvivalentně je surjektivní. Proto psaní pro triviální vektorový svazek a předání surjekce do relativní Proj, tady je uzavřené ponoření:
kde na pravé straně je invariance projektivní svazek pod kroucením pomocí svazku čar. Následující i projekcí, výsledky na mapě:[4]
Když je základní lokus PROTI není prázdný, výše uvedená diskuse stále prochází v přímém součtu nahrazen ideálním svazkem definujícím základní lokus a X nahrazeno nafouknutím z toho podél (schématicko-teoretického) základního lokusu B. Přesně, jak je uvedeno výše, existuje překvapení kde je ideální svazek B a to vede k
Od té doby otevřená podmnožina , na mapě jsou výsledky:
Nakonec, když základ PROTI je vybrána, výše uvedená diskuse se stává více terénu (a to je styl používaný v Hartshorne, Algebraic Geometry).
Lineární systém určený mapou do projektivního prostoru
![]() | Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Srpna 2019) |
Každý morfismus od algebraické odrůdy k projektivnímu prostoru určuje lineární systém bez základny na odrůdě; z tohoto důvodu se lineární systém bez základního bodu a mapa do projektivního prostoru často používají zaměnitelně.
Pro uzavřené ponoření algebraických odrůd existuje zpětný chod lineárního systému na na , definováno jako [2] (strana 158).
O (1) na projektivní odrůdě
Projektivní rozmanitost vloženo do má kanonický lineární systém určující mapu do projektivního prostoru od . To pošle bod do příslušného bodu .
Viz také
Reference
- ^ Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. EGA IV, 21.3.
- ^ A b C d E F Hartshorne, R. 'Algebraic Geometry', propozice II.7.2, strana 151, propozice II.7.7, strana 157, strana 158, cvičení IV.1.7, strana 298, nabídka IV.5.3, strana 342
- ^ Kleiman, Steven L .; Laksov, Dan (1974). „Další důkaz o existenci zvláštních dělitelů“. Acta Mathematica. 132: 163–176. doi:10.1007 / BF02392112. ISSN 0001-5962.
- ^ Fulton, § 4.4.
- P. Griffiths; J. Harris (1994). Principy algebraické geometrie. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. str. 137. ISBN 0-471-05059-8.
- Hartshorne, R. Algebraická geometrie, Springer-Verlag 1977; opravený 6. tisk, 1993. ISBN 0-387-90244-9.
- Lazarsfeld, R., Pozitivita v algebraické geometrii ISpringer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1.