Rovnice xʸ = yˣ - Equation xʸ = yˣ

Graf X^y = y^X.

Obecně, umocňování není komutativní. Nicméně rovnice ${ displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}}$ platí ve zvláštních případech, jako např ${ displaystyle x = 2, y = 4.}$^[1]

Dějiny

Rovnice ${ displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}}$ je zmíněn v dopise z Bernoulli na Goldbach (29. června 1728^[2]). Dopis obsahuje prohlášení, že když ${ displaystyle x neq y,}$ jediné řešení v přirozená čísla jsou ${ displaystyle (2,4)}$ a ${ displaystyle (4,2),}$ i když v systému je nekonečně mnoho řešení racionální čísla, jako ${ displaystyle ({ tfrac {27} {8}}, { tfrac {9} {4}})}}$ a ${ displaystyle ({ tfrac {9} {4}}, { tfrac {27} {8}})}$.^[3][4]Odpověď Goldbacha (31. ledna 1729^[2]) obsahuje obecné řešení rovnice, získané dosazením ${ displaystyle y = vx.}$^[3] Podobné řešení našel Euler.^[4]

J. van Hengel poukázal na to, že pokud ${ displaystyle r, n}$ jsou pozitivní celá čísla s ${ displaystyle r geq 3}$, pak ${ displaystyle r ^ {r + n}> (r + n) ^ {r};}$ proto stačí zvážit možnosti ${ displaystyle x = 1}$ a ${ displaystyle x = 2}$ abychom našli řešení v přirozeném počtu.^[4][5]

Problém byl diskutován v řadě publikací.^[2][3][4] V roce 1960 byla rovnice mezi otázkami o Soutěž William Lowell Putnam,^[6][7] což přimělo Alvina Hausnera rozšířit výsledky na algebraické číselné pole.^[3][8]

Pozitivní skutečná řešení

Hlavní zdroj:^[1]

An nekonečný sada triviálních řešení v pozitivním reálná čísla darováno ${ displaystyle x = y.}$ Netriviální řešení lze explicitně psát jako

${ displaystyle y = e ^ {- W _ {- 1} { bigl (} { frac {- ln (x)} {x}} { bigr)}} quad mathrm {for} quad 1$

${ displaystyle y = e ^ {- W_ {0} { bigl (} { frac {- ln (x)} {x}} { bigr)}} quad mathrm {for} quad e < X.}$

Tady, ${ displaystyle W _ {- 1}}$ a ${ displaystyle W_ {0}}$ představují záporné a hlavní větve Funkce Lambert W..

Netriviální řešení lze snáze najít za předpokladu ${ displaystyle x neq y}$ a nechat ${ displaystyle y = vx.}$Pak

${ displaystyle (vx) ^ {x} = x ^ {vx} = (x ^ {v}) ^ {x}.}$

Zvyšování obou stran k moci ${ displaystyle { tfrac {1} {x}}}$ a dělení ${ displaystyle x}$, dostaneme

${ displaystyle v = x ^ {v-1}.}$

Pak jsou netriviální řešení v kladných reálných číslech vyjádřena jako

${ displaystyle x = v ^ {1 / (v-1)},}$

${ displaystyle y = v ^ {v / (v-1)}.}$

Nastavení ${ displaystyle v = 2}$ nebo ${ displaystyle v = { tfrac {1} {2}}}$ generuje netriviální řešení v kladných celých číslech, ${ displaystyle 4 ^ {2} = 2 ^ {4}.}$

Další páry skládající se z algebraická čísla existují, jako např ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ a ${ displaystyle 3 { sqrt {3}}}$, stejně jako ${ displaystyle { sqrt [{3}] {4}}}$ a ${ displaystyle 4 { sqrt [{3}] {4}}}$.

Výše uvedená parametrizace vede k zajímavé geometrické vlastnosti této křivky. To lze ukázat ${ displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}}$ popisuje izoklinová křivka kde výkonové funkce formy ${ displaystyle x ^ {v}}$ mít sklon ${ displaystyle v ^ {2}}$ pro nějakou pozitivní skutečnou volbu ${ displaystyle v neq 1}$. Například, ${ displaystyle x ^ {8} = y}$ má sklon ${ displaystyle 8 ^ {2}}$ na ${ displaystyle ({ sqrt [{7}] {8}}, { sqrt [{7}] {8}} ^ {8}),}$ což je také bod na křivce ${ displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}.}$

Triviální a netriviální řešení se protínají, když ${ displaystyle v = 1}$. Výše uvedené rovnice nelze vyhodnotit přímo, ale můžeme vzít omezit tak jako ${ displaystyle v až 1}$. To se nejpohodlněji provádí nahrazením ${ displaystyle v = 1 + 1 / n}$ a nechat ${ displaystyle n to infty}$, tak

${ displaystyle x = lim _ {v až 1} v ^ {1 / (v-1)} = lim _ {n až infty} vlevo (1 + { frac {1} {n} } right) ^ {n} = e.}$

Tedy linka ${ displaystyle y = x}$ a křivka pro ${ displaystyle x ^ {y} -y ^ {x} = 0, , , y neq x}$ protínají se v X = y = E.

Tak jako ${ displaystyle x to infty}$, netriviální řešení asymptoty k řádku ${ displaystyle y = 1}$. Úplnější asymptotická forma je

${ displaystyle y = 1 + { frac { ln x} {x}} + { frac {3} {2}} { frac {( ln x) ^ {2}} {x ^ {2} }} + cdots.}$

Podobné grafy

Rovnice ${ displaystyle { sqrt [{x}] {y}} = { sqrt [{y}] {x}}}$

Rovnice ${ displaystyle { sqrt [{x}] {y}} = { sqrt [{y}] {x}}}$ vyrábí a graf kde se přímka a křivka protínají v ${ displaystyle 1 / e}$. Křivka také končí na (0, 1) a (1, 0), místo aby pokračovala do nekonečna.

Zakřivenou část lze explicitně napsat jako

${ displaystyle y = e ^ {W_ {0} ( ln (x ^ {x}))} quad mathrm {for} quad 0$

${ displaystyle y = e ^ {W _ {- 1} ( ln (x ^ {x}))} quad mathrm {for} quad 1 / e$

Tato rovnice popisuje izoklinovou křivku, kde výkonové funkce mají sklon 1, analogický s geometrickou vlastností ${ displaystyle x ^ {y} = y ^ {x}}$ popsáno výše.

Rovnice ${ displaystyle y ^ {y} = x ^ {x}}$ ukazuje identickou křivku.

Rovnice ${ displaystyle log _ {x} (y) = log _ {y} (x)}$

Rovnice ${ displaystyle log _ {x} (y) = log _ {y} (x)}$ vytvoří graf, kde se křivka a čára protínají v (1, 1). Křivka se stává asymptotická k 0, na rozdíl od 1; je to ve skutečnosti pozitivní část y = 1/X.

Reference

externí odkazy

• „Racionální řešení x ^ y = y ^ x“. CTK Wiki matematika.
• „x ^ y = y ^ x - dojíždějící síly“. Aritmetické a analytické hádanky. Torsten Sillke. Archivovány od originál dne 28. 12. 2015.
• dborkovitz (2012-01-29). „Parametrický graf x ^ y = y ^ x“. GeoGebra.
• OEIS posloupnost A073084 (Decimální expanze -x, kde x je záporné řešení rovnice 2 ^ x = x ^ 2)