Mahāvīra (matematik) - Mahāvīra (mathematician)

Mahávíra (nebo Mahaviracharya„Učitel Mahávira“) bylo z 9. století Jain matematik pravděpodobně narozený nebo blízký současnému městu Mysore, na jihu Indie.^[1][2][3] Byl autorem Gaṇitasārasan̄graha (Ganita Sara Sangraha) nebo Kompendium o podstatě matematiky v roce 850 n. l.^[4] Patronoval ho Rashtrakuta král Amoghavarsha.^[4] Oddělil se astrologie z matematiky. Je to nejstarší indický text zcela věnovaný matematice.^[5] Vykládal o stejných předmětech Aryabhata a Brahmagupta tvrdil, ale vyjádřil je jasněji. Jeho práce je vysoce synkopovaným přístupem k algebře a většina jeho textu klade důraz na vývoj technik nezbytných k řešení algebraických problémů.^[6] On je velmi respektován mezi indickými matematiky, protože jeho založení terminologie pro pojmy jako rovnostranný a rovnoramenný trojúhelník; kosočtverec; kruh a půlkruh.^[7] Mahavirova eminence se rozšířila po celé jižní Indii a jeho knihy se ukázaly jako inspirativní pro ostatní matematiky Jižní Indie.^[8] Bylo přeloženo do Telugština podle Pavuluri Mallana tak jako Saara Sangraha Ganitamu.^[9]

Objevil algebraické identity jako A³ = A (A + b) (A − b) + b² (A − b) + b³.^[3] Zjistil také vzorec pro ⁿC_r tak jako
[n (n − 1) (n − 2) ... (n − r + 1)] / [r (r − 1) (r − 2) ... 2 * 1].^[10] Navrhl vzorec, který aproximoval plochu a obvody elips, a našel metody pro výpočet druhé mocniny čísla a krychle kořenů čísla.^[11] Tvrdil, že odmocnina a záporné číslo neexistuje.^[12]

Pravidla pro rozklad frakcí

Mahavira Gaṇita-sāra-saṅgraha dal systematická pravidla pro vyjádření zlomku jako součet jednotkových zlomků.^[13] Toto následuje po použití jednotkových zlomků v Indická matematika ve védském období a Śulba Sūtras "s přibližným odhadem √2 ekvivalentní ${ displaystyle 1 + { tfrac {1} {3}} + { tfrac {1} {3 cdot 4}} - { tfrac {1} {3 cdot 4 cdot 34}}}$.^[13]

V Gaṇita-sāra-saṅgraha (GSS), je pojmenována druhá část kapitoly o aritmetice kalā-savarṇa-vyavahāra (dále jen „operace redukce zlomků“). V tomto je bhāgajāti část (verše 55–98) uvádí pravidla pro následující:^[13]

• Vyjádřit 1 jako součet n jednotkové zlomky (GSS kalāsavarṇa 75, příklady v 76):^[13]

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ /
dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Když je výsledek jedna, jmenovatelem veličin, které mají jednu jako čitatele, jsou [čísla] začínající jednou a vynásobené třemi v pořadí. První a poslední se vynásobí dvěma a dvěma třetinami [v uvedeném pořadí].

${ displaystyle 1 = { frac {1} {1 cdot 2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + tečky + { frac {1} {3 ^ {n-2}}} + { frac {1} {{ frac {2} {3}} cdot 3 ^ {n-1}}}}$

• Vyjádřit 1 jako součet lichého počtu jednotkových zlomků (GSS kalāsavarṇa 77):^[13]

${ displaystyle 1 = { frac {1} {2 cdot 3 cdot 1/2}} + { frac {1} {3 cdot 4 cdot 1/2}} + tečky + { frac { 1} {(2n-1) cdot 2n cdot 1/2}} + { frac {1} {2n cdot 1/2}}}$

• Vyjádřit zlomek jednotky ${ displaystyle 1 / q}$ jako součet n ostatní zlomky s danými čitateli ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {n}}$ (GSS kalāsavarṇa 78, příklady v 79):

${ displaystyle { frac {1} {q}} = { frac {a_ {1}} {q (q + a_ {1})}} + { frac {a_ {2}} {(q + a_ {1}) (q + a_ {1} + a_ {2})}} + dots + { frac {a_ {n-1}} {(q + a_ {1} + dots + a_ {n- 2}) (q + a_ {1} + dots + a_ {n-1})}} + { frac {a_ {n}} {a_ {n} (q + a_ {1} + dots + a_ {n-1})}}}$

• Vyjádřit libovolný zlomek ${ displaystyle p / q}$ jako součet jednotkových zlomků (GSS kalāsavarṇa 80, příklady v 81):^[13]

Vyberte celé číslo i takhle ${ displaystyle { tfrac {q + i} {p}}}$ je celé číslo r, potom napiš

${ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {1} {r}} + { frac {i} {r cdot q}}}$

a opakujte postup pro druhý semestr rekurzivně. (Všimněte si, že pokud i je vždy vybrán jako nejmenší takové celé číslo, toto je totožné s chamtivý algoritmus pro egyptské zlomky.)

• Vyjádřit jednotkový zlomek jako součet dvou dalších jednotkových zlomků (GSS kalāsavarṇa 85, příklad v 86):^[13]

${ displaystyle { frac {1} {n}} = { frac {1} {p cdot n}} + { frac {1} { frac {p cdot n} {n-1}}} }$ kde ${ displaystyle p}$ je třeba zvolit tak, aby ${ displaystyle { frac {p cdot n} {n-1}}}$ je celé číslo (pro které ${ displaystyle p}$ musí být násobkem ${ displaystyle n-1}$).

${ displaystyle { frac {1} {a cdot b}} = { frac {1} {a (a + b)}} + { frac {1} {b (a + b)}}}$

• Vyjádřit zlomek ${ displaystyle p / q}$ jako součet dvou dalších zlomků s danými čitateli ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ (GSS kalāsavarṇa 87, příklad v 88):^[13]

${ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {a} {{ frac {ai + b} {p}} cdot { frac {q} {i}}}} + { frac {b} {{ frac {ai + b} {p}} cdot { frac {q} {i}} cdot {i}}}}$ kde ${ displaystyle i}$ je třeba zvolit tak, aby ${ displaystyle p}$ rozděluje ${ displaystyle ai + b}$

Některá další pravidla byla uvedena v Gaṇita-kaumudi z Nārāyaṇa ve 14. století.^[13]

Viz také

• Seznam indických matematiků

Poznámky

Reference

• Bibhutibhusan Datta a Avadhesh Narayan Singh (1962). History of Hindu Mathematics: A Source Book.
• Pingree, Davide (1970). „Mahāvīra“. Slovník vědecké biografie. New York: Synové Charlese Scribnera. ISBN  978-0-684-10114-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz) (K dispozici spolu s mnoha dalšími hesly z jiných encyklopedií pro ostatní Mahāvīry, online.)
• Selin, Helaine (2008), Encyklopedie dějin vědy, technologie a medicíny v nezápadních kulturách Springer, ISBN  978-1-4020-4559-2
• Hayashi, Takao (2013), "Mahavira", Encyklopedie Britannica
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2000), "Mahavira", MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Tabak, John (2009), Algebra: Sady, symboly a jazyk myšlení, Infobase Publishing, ISBN  978-0-8160-6875-3
• Krebs, Robert E. (2004), Průkopnické vědecké experimenty, vynálezy a objevy středověku a renesance, Vydavatelská skupina Greenwood, ISBN  978-0-313-32433-8
• Puttaswamy, T.K (2012), Matematické úspěchy předmoderních indických matematiků, Noví, ISBN  978-0-12-397938-4
• Kusuba, Takanori (2004), „Indická pravidla pro rozklad frakcí“, Charles Burnett; Jan P. Hogendijk; Kim Plofker; et al. (eds.), Studie o historii exaktních věd na počest Davida Pingreeho, Brill, ISBN  9004132023, ISSN  0169-8729