Křížové násobení - Cross-multiplication

v matematika, konkrétně v základní aritmetika a elementární algebra, vzhledem k rovnici mezi dvěma zlomky nebo racionální výrazy, jeden může násobit zjednodušit rovnici nebo určit hodnotu proměnné.

Metoda je také příležitostně známá jako metoda „zkřížte své srdce“, protože lze nakreslit srdce, aby si pamatovalo, které věci se mají společně množit, a řádky připomínají obrys srdce.

Vzhledem k rovnici jako:

{displaystyle {frac {a} {b}} = {frac {c} {d}}}

(kde $b$ a $d$ nejsou nula), lze násobit a získat:

{displaystyle ad = bcqquad mathrm {or} qquad a = {frac {bc} {d}}.}

v Euklidovská geometrie stejného výpočtu lze dosáhnout zvážením poměry jako ti z podobné trojúhelníky.

Postup

V praxi je metoda křížové násobení znamená, že vynásobíme čitatel každé (nebo jedné) strany jmenovatelem druhé strany, čímž fakticky překročíme termíny.

{displaystyle {frac {a} {b}} warrow {frac {c} {d}} quad {frac {a} {b}} ucho {frac {c} {d}}.}

Matematické zdůvodnění metody je z následujícího delšího matematického postupu. Začneme-li základní rovnicí:

{displaystyle {frac {a} {b}} = {frac {c} {d}}}

můžeme podmínky na každé straně vynásobit stejným počtem a podmínky zůstanou stejné. Pokud tedy vynásobíme zlomek na každé straně součinem jmenovatelů obou stran - $bd$ -dostaneme:

{displaystyle {frac {a} {b}} imes bd = {frac {c} {d}} imes bd.}

Můžeme zredukovat zlomky na nejnižší členy tím, že si všimneme, že dva výskyty ${displaystyle b}$ na levé straně zrušte, stejně jako dva výskyty $d$ na pravé straně, přičemž:

{displaystyle ad = bc}

a můžeme rozdělit obě strany rovnice kterýmkoli z prvků - v tomto případě použijeme $d$ —Získání:

{displaystyle a = {frac {bc} {d}}.}

Další ospravedlnění křížového násobení je následující. Počínaje danou rovnicí:

{displaystyle {frac {a} {b}} = {frac {c} {d}}}

vynásobit $d / d$ = 1 nalevo a od $b / b$ = 1 vpravo, získávání:

{displaystyle {frac {a} {b}} imes {frac {d} {d}} = {frac {c} {d}} imes {frac {b} {b}}}

a tak:

{displaystyle {frac {ad} {bd}} = {frac {cb} {db}}.}

Zrušte společného jmenovatele $bd$ = $db$ , opouštět:

{displaystyle ad = cb.}

Každý krok v těchto postupech je založen na jediné základní vlastnosti rovnice. Křížové násobení je zkratka, snadno srozumitelný postup, který lze naučit studenty.

Použití

Toto je běžný postup v matematice, který se používá ke snížení zlomků nebo k výpočtu hodnoty dané proměnné ve zlomku. Pokud máme takovou rovnici, kde $X$ je proměnná, o kterou se zajímáme:

{displaystyle {frac {x} {b}} = {frac {c} {d}}}

můžeme použít křížové násobení k určení, že:

{displaystyle x = {frac {bc} {d}}.}

Předpokládejme například, že chceme vědět, jak daleko bude auto cestovat za 7 hodin, pokud víme, že jeho rychlost je konstantní a že za poslední 3 hodiny již ujel 90 mil. Převod slovní úlohy na poměry, které dostaneme

{displaystyle {frac {x} {7 mathrm {hours}}} = {frac {90 mathrm {miles}} {3 mathrm {hours}}}.}

Znásobení výnosů:

{displaystyle x = {frac {7 mathrm {hours} je 90 mathrm {míle}} {3 mathrm {hodin}}}}

a tak:

{displaystyle x = 210 mathrm {miles}.}

Všimněte si, že i takové jednoduché rovnice:

{displaystyle a = {frac {x} {d}}}

jsou řešeny pomocí křížového násobení, protože chybí $b$ termín se implicitně rovná 1:

{displaystyle {frac {a} {1}} = {frac {x} {d}}.}

Libovolnou rovnici obsahující zlomky nebo racionální výrazy lze zjednodušit vynásobením obou stran znakem nejmenší společný jmenovatel. Tento krok se nazývá clearingové frakce.

Pravidlo tří

The Pravidlo tří^[1] byla historická zkratková verze pro konkrétní formu křížového rozmnožování, kterou bylo možné naučit studenty nazpaměť. Bylo to považováno za výšku Koloniální matematické vzdělávání^[2] a stále figurují ve francouzských národních osnovách pro střední vzdělávání.^[3]

Pro rovnici tvaru:

{displaystyle {frac {a} {b}} = {frac {c} {x}}}

kde proměnná, která má být hodnocena, je v pravém jmenovateli, Pravidlo tří stanoví, že:

{displaystyle x = {frac {bc} {a}}.}

V tomto kontextu, $A$ se označuje jako extrémní podílu a $b$ a $C$ se nazývají prostředek.

Toto pravidlo bylo čínským matematikům známé již před 2. stol. N. L.,^[4] ačkoli to bylo používáno v Evropě až mnohem později.

Pravidlo tří získalo proslulost^{[Citace je zapotřebí ]} za to, že je obzvlášť obtížné to vysvětlit. Cocker's Arithmetick, přední učebnice v 17. století, představuje diskusi o pravidle tří^[5] s problémem: „Pokud 4 yardy látky stojí 12 šilinků, co bude stát 6 yardů při této sazbě?“ Pravidlo tří dává odpověď na tento problém přímo; zatímco v moderní aritmetice bychom to vyřešili zavedením proměnné $X$ stát za cenu 6 yardů látky, zapsat rovnici:

{displaystyle {frac {4 mathrm {yards}} {12 mathrm {shillings}}} = {frac {6 mathrm {yards}} {x}}}

a poté k výpočtu použít křížové násobení $X$ :

{displaystyle x = {frac {12 mathrm {shillings} je 6 mathrm {yards}} {4 mathrm {yards}}} = 18 mathrm {shillings}.}

Anonymní rukopis ze dne 1570^[6] řekl: „Násobení je trápení, / Divize je stejně špatná; / Pravidlo tří mě hádá, / A praxe mě přivádí k šílenství.“

Dvojité pravidlo tří

Rozšíření Pravidla tří bylo Dvojité pravidlo tří, což zahrnovalo nalezení neznámé hodnoty, kde je známo pět a nikoli tři další hodnoty.

Příkladem takového problému může být Pokud 6 stavitelů dokáže postavit 8 domů za 100 dní, kolik dní by trvalo 10 stavitelům postavit 20 domů stejnou rychlostí? a toto lze nastavit jako

{displaystyle {frac {frac {8 mathrm {houses}} {100 mathrm {days}}} {6 mathrm {builders}}} = {frac {frac {20 mathrm {houses}} {x}} {10 mathrm {stavitelé }}}}

což při křížovém násobení dvakrát dává

{displaystyle x = {frac {20 mathrm {houses} imes 100 mathrm {days} imes 6 mathrm {builders}} {8 mathrm {houses} imes 10 mathrm {builders}}} = 150 mathrm {days}}

Lewis Carroll je Píseň šíleného zahradníka zahrnuje řádky „Myslel si, že viděl Zahradní dveře / To se otevřelo klíčem: / Podíval se znovu a zjistil, že je / Dvojité pravidlo tří“.^[7]

Viz také

Reference

^ Toto bylo někdy také označováno jako zlaté pravidlo, ačkoli toto použití je ve srovnání s jinými způsoby použití vzácné zlaté pravidlo. Vidět E. Cobham Brewer (1898). "Zlaté pravidlo". Pivovarský slovník fráze a bajky. Philadelphia: Henry Altemus.
^ Ubiratan D'Ambrósio; Joseph W. Dauben; Karen Hunger Parshall (2014). „Matematické vzdělávání v Americe v předmoderním období“. V Alexander Karp; Gert Schubring (eds.). Příručka o dějinách výuky matematiky. Springer Science. str. 177. ISBN 978-1-4614-9155-2.
^ „Socle de connaissances, pilier 3“. Francouzské ministerstvo školství. 30. prosince 2012. Citováno 24. září 2015.
^ Shen Kangshen; John N. Crossley; Anthony W.-C. Lun (1999). Devět kapitol o matematickém umění: společník a komentář. Oxford: Oxford University Press.
^ Edward Cocker (1702). Cocker's Arithmetick. Londýn: John Hawkins. str.103.
^ Stručný Oxfordský slovník nabídek, 1964
^ Sylvie a Bruno, Kapitola 12

Další čtení

Brian Burell: Průvodce Merriam-Webster po každodenní matematice: domácí a obchodní reference. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, str. 85-101
'Dr. Math', Pravidlo tří
'Dr. Math', Abraham Lincoln a pravidlo tří
Pikeův systém aritmetiky zkrácen: navržen tak, aby usnadnil studium vědy o číslech a porozuměl nejnápadnějším a nejpřesnějším pravidlům, ilustrovaným užitečnými příklady: ke kterým jsou přidány vhodné otázky pro zkoumání vědců a krátký systém knihy vedení., 1827 - fax příslušné sekce
Pravidlo tří, jak je aplikoval Michael z Rhodosu v patnáctém století
Pravidlo tří v matce husy
Rudyard Kipling: Můžete to vyřešit pomocí zlomků nebo jednoduchým pravidlem tří, ale způsob Tweedle-dum není způsob Tweedle-dee.

externí odkazy

Média související s Křížové násobení na Wikimedia Commons

[1] Toto bylo někdy také označováno jako zlaté pravidlo, ačkoli toto použití je ve srovnání s jinými způsoby použití vzácné zlaté pravidlo. Vidět E. Cobham Brewer (1898). "Zlaté pravidlo". Pivovarský slovník fráze a bajky. Philadelphia: Henry Altemus.

[2] Ubiratan D'Ambrósio; Joseph W. Dauben; Karen Hunger Parshall (2014). „Matematické vzdělávání v Americe v předmoderním období“. V Alexander Karp; Gert Schubring (eds.). Příručka o dějinách výuky matematiky. Springer Science. str. 177. ISBN 978-1-4614-9155-2.

[3] „Socle de connaissances, pilier 3“. Francouzské ministerstvo školství. 30. prosince 2012. Citováno 24. září 2015.

[4] Shen Kangshen; John N. Crossley; Anthony W.-C. Lun (1999). Devět kapitol o matematickém umění: společník a komentář. Oxford: Oxford University Press.

[5] Edward Cocker (1702). Cocker's Arithmetick. Londýn: John Hawkins. str.103.

[6] Stručný Oxfordský slovník nabídek, 1964

[7] Sylvie a Bruno, Kapitola 12

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]