Ganita Kaumudi - Ganita Kaumudi

Ganita Kaumudi je pojednání o matematika napsal indický matematik Narayana Pandita v roce 1356. Bylo to aritmetické pojednání spolu s dalším algebraickým pojednáním nazvaným „Bijganita Vatamsa“ Narayana Pandit. Byl napsán jako komentář k Līlāvatī podle Bhāskara II.

Obsah

Gaṇita Kaumudī obsahuje asi 475 veršů sūtra (pravidla) a 395 veršů udāharaṇa (příklady). Je rozdělena do 14 sekcí (kapitol) známých jako vyavahāras:^[1]

1. Prakīrṇaka-vyavahāra

Váhy a míry, délka, plocha, objem atd. Popisuje sčítání, odčítání, násobení, dělení, druhou mocninu, druhou odmocninu, krychli a odmocninu. Zde popsané problémy lineárních a kvadratických rovnic jsou složitější než v dřívějších pracích.^[2] 63 pravidel a 82 příkladů^[1]

2. Miśraka-vyavahāra

Matematika týkající se každodenního života: „směs materiálů, úroky na jistině, platby ve splátkách, míchání zlatých předmětů s různou čistotou a další problémy týkající se lineárních neurčitých rovnic pro mnoho neznámých“^[2] 42 pravidel a 49 příkladů^[1]

3. Śreḍhī-vyavahāra

Aritmetické a geometrické posloupnosti, posloupnosti a řady. Zobecnění zde bylo zásadní pro nalezení nekonečné řady pro sinus a kosinus.^[2] 28 pravidel a 19 příkladů.^[1]

4. Kṣetra-vyavahāra

Geometrie. 149 pravidel a 94 příkladů.^[1] Zahrnuje speciální materiál pro cyklické kvadratilery, například „třetí úhlopříčku“.^[2]

5. Khāta-vyavahāra

Výkopy. 7 pravidel a 9 příkladů.^[1]

6. Citi-vyavahāra

Hromádky. 2 pravidla a 2 příklady.^[1]

7. Rāśi-vyavahāra

Kopy obilí. 2 pravidla a 3 příklady.^[1]

8. Chāyā-vyavahāra

Stínové problémy. 7 pravidel a 6 příkladů.^[1]

9. Kuṭṭaka

Lineární celočíselné rovnice. 69 pravidel a 36 příkladů.^[1]

10. Vargaprakṛti

Kvadratický. 17 pravidel a 10 příkladů.^[1] Zahrnuje variantu Chakravala metoda.^[2] Ganita Kaumudi obsahuje mnoho výsledků z pokračující zlomky. V textu Narayana Pandita využil znalosti jednoduchého opakujícího se pokračujícího zlomku při řešení neurčitých rovnic typu ${ displaystyle nx ^ {2} + k ^ {2} = y ^ {2}}$.

11. Bhāgādāna

Faktorizace. Obsahuje Fermatova faktorizační metoda.^[1] 11 pravidel a 7 příkladů.^[1]

12. Rūpādyaṃśāvatāra

Obsahuje pravidla pro zápis zlomku jako součtu jednotkových zlomků. 22 pravidel a 14 příkladů.^[1]

Jednotkové frakce byly známy v Indická matematika ve védském období:^[3] the Śulba Sūtras uveďte přibližnou hodnotu √2 ekvivalentní ${ displaystyle 1 + { tfrac {1} {3}} + { tfrac {1} {3 cdot 4}} - { tfrac {1} {3 cdot 4 cdot 34}}}$. Systematická pravidla pro vyjádření zlomku jako součet jednotkových zlomků předtím byl uveden v Gaṇita-sāra-saṅgraha z Mahávíra (C. 850).^[3] Nārāyaṇa Gaṇita-kaumudi dal několik dalších pravidel: část bhāgajāti ve dvanácté kapitole s názvem aṃśāvatāra-vyavahāra obsahuje osm pravidel.^[3] Prvních pár je:^[3]

• Pravidlo 1. Vyjádřit 1 jako součet n jednotkové zlomky:^[3]

${ displaystyle 1 = { frac {1} {1 cdot 2}} + { frac {1} {2 cdot 3}} + { frac {1} {3 cdot 4}} + dots + { frac {1} {(n-1) cdot n}} + { frac {1} {n}}}$

• Pravidlo 2. Vyjádřit 1 jako součet n jednotkové zlomky:^[3]

${ displaystyle 1 = { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} + dots + { frac {1 } {3 ^ {n-2}}} + { frac {1} {2 cdot 3 ^ {n-2}}}}$

• Pravidlo 3. Vyjádřit zlomek ${ displaystyle p / q}$ jako součet jednotkových zlomků:^[3]

Vyberte libovolné číslo i takhle ${ displaystyle (q + i) / p}$ je celé číslo r, psát si

${ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {1} {r}} + { frac {i} {qr}}}$

a stejným způsobem vyhledejte po sobě jdoucí jmenovatele tím, že budete pracovat s novou frakcí. Li i je vždy zvoleno jako nejmenší celé číslo, toto je ekvivalentní s chamtivý algoritmus pro egyptské zlomky, ale pravidlo Gaṇita-Kaumudī nedává jedinečný postup a místo toho uvádí evam iṣṭavaśād bahudhā („Existuje tedy mnoho způsobů, podle volby člověka.“)^[3]

• Pravidlo 4. Dáno ${ displaystyle n}$ libovolná čísla ${ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, tečky, k_ {n}}$,^[3]

${ displaystyle 1 = { frac {(k_ {2} -k_ {1}) k_ {1}} {k_ {2} cdot k_ {1}}} + { frac {(k_ {3} -k_ {2}) k_ {1}} {k_ {3} cdot k_ {2}}} + tečky + { frac {(k_ {n} -k_ {n-1}) k_ {1}} {k_ {n} cdot k_ {n-1}}} + { frac {1 cdot k_ {1}} {k_ {n}}}}$

• Pravidlo 5. Vyjádřit 1 jako součet zlomků s danými čitateli ${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {n}}$:^[3]

Vypočítat ${ displaystyle i_ {1}, i_ {2}, tečky, i_ {n}}$ tak jako ${ displaystyle i_ {1} = a_ {1} +1}$, ${ displaystyle i_ {2} = a_ {2} + i_ {1}}$, ${ displaystyle i_ {3} = a_ {3} + i_ {2}}$a tak dále a psát

${ displaystyle 1 = { frac {a_ {1}} {1 cdot i_ {1}}} + { frac {a_ {2}} {i_ {1} cdot i_ {2}}} + { frac {a_ {3}} {i_ {2} cdot i_ {3}}} + dots + { frac {a_ {n}} {i_ {n-1} cdot i_ {n}}} + { frac {1} {i_ {n}}}}$

13. Aṅka-pāśa

Kombinatorika. 97 pravidel a 45 příkladů.^[1] Generování permutací (včetně multisetu), kombinací, oddíly čísla, binomické koeficienty, zobecněná Fibonacciho čísla.^[2]

Narayana Pandita konstatoval rovnocennost figurativní čísla a vzorce pro počet kombinací různých věcí, které se berou tolik najednou.^[4]

Kniha obsahuje pravidlo pro stanovení počtu permutací n objekty a klasický algoritmus pro nalezení další permutace v lexikografickém uspořádání, ačkoli výpočetní metody pokročily daleko za tento starověký algoritmus. Donald Knuth popisuje mnoho algoritmů věnovaných efektivní generaci permutací a diskutuje o jejich historii ve své knize Umění počítačového programování.^[5]

14. Bhadragaṇita

Kouzelné čtverce. 60 pravidel a 17 příkladů.^[1]

Edice

• „Překlad Ganity Kaumudi s odůvodněním v moderní matematice a historických poznámkách“ S L Singh, ředitel, Science College, Gurukul Kangri Vishwavidyalaya, Haridwar
• Ganita Kaumudi, svazek 1–2, Nārāyana Pandita (číslo 57 princezny z Walesu Sarasvati Bhavana Granthamala: Abhinava nibandhamālā Padmakara Dwivedi Jyautishacharya 1936)

Reference

Poznámky

Bibliografie

• Kusuba, Takanori (2004), „Indická pravidla pro rozklad frakcí“, Charles Burnett; Jan P. Hogendijk; Kim Plofker; et al. (eds.), Studie dějin přesných věd na počest David Pingree, Brill, ISBN  9004132023, ISSN  0169-8729
• M. D. Srinivas, M. S. Sriram, K. Ramasubramanian, Matematika v Indii - od védského období po moderní dobu. Přednášky 25–27.

externí odkazy

• Ganita Kaumudi část 1 (1936)
• Ganita Kaumudi Část 2 (1942)
• Ganita Kaumudi a pokračující frakce^{[trvalý mrtvý odkaz ]}