Weyl – Brauerovy matice - Weyl–Brauer matrices

v matematika, zejména v teorii rotory, Weyl – Brauerovy matice jsou výslovnou realizací a Cliffordova algebra jako maticová algebra z $2 ⌊ n /2⌋ \times 2 ⌊ n /2⌋$ matice. Zobecňují Pauliho matice na $n$ rozměry a jsou konkrétní konstrukcí vyšší dimenze gama matic. Jsou pojmenovány pro Richard Brauer a Hermann Weyl,^[1] a byly jednou z prvních systematických konstrukcí rotory od a teoretická reprezentace stanovisko.

Matice jsou vytvořeny převzetím tenzorové výrobky z Pauliho matice a prostor spinorů v $n$ rozměry pak mohou být realizovány jako vektory velikosti sloupce $2 ⌊ n /2⌋$ na které působí Weyl-Brauerovy matice.

Konstrukce

Předpokládejme to PROTI = Rⁿ je Euklidovský prostor dimenze n. V konstrukci Weyl-Brauerových matic je ostrý kontrast podle toho, zda jde o dimenzi n je sudé nebo liché.

Nechat $n$ = 2 $k$ (nebo 2 $k$ +1) a předpokládejme, že euklidovský kvadratická forma na $PROTI$ darováno

{displaystyle q_ {1} ^ {2} + tečky + q_ {k} ^ {2} + p_ {1} ^ {2} + tečky + p_ {k} ^ {2} ~~ (+ p_ {n} ^ {2}) ~,}

kde (str_i, q_i) jsou standardní souřadnice na Rⁿ.

Definujte matice 1, 1', P, a Q podle

{displaystyle {egin {matrix} {mathbf {1}} = sigma _ {0} = left ({egin {matrix} 1 & 0 0 & 1end {matrix}} ight), & {mathbf {1}} '= sigma _ {3 } = left ({egin {matrix} 1 & 0 0 & -1end {matrix}} ight), P = sigma _ {1} = left ({egin {matrix} 0 & 1 1 & 0end {matrix}} ight), & Q = - sigma _ {2} = left ({egin {matrix} 0 & i -i & 0end {matrix}} ight) end {matrix}}}

.

V sudé nebo liché dimenzionálnosti se tento kvantizační postup rovná nahrazení běžného str, q souřadnice s nekomutativními souřadnicemi vytvořenými z P, Q vhodným způsobem.

Sudý případ

V případě, kdy n = 2k je sudý, nechť

{displaystyle P_ {i} = {mathbf {1}} 'otimes tečky otimes {mathbf {1}}' otimes Potimes {mathbf {1}} otimes tečky otimes {mathbf {1}}}

{displaystyle Q_ {i} = {mathbf {1}} 'otimes tečky otimes {mathbf {1}}' otimes Qotimes {mathbf {1}} otimes tečky otimes {mathbf {1}}}

pro i = 1,2,...,k (Kde P nebo Q je považován za okupujícího i-tá pozice). Operace ${zobrazovací doba}$ je tenzorový produkt matic. Již není důležité rozlišovat mezi Ps a Qs, takže na ně jednoduše odkazujeme se symbolem Pa vezměte v úvahu index na P_i jak sahat od i = 1 až i = 2k. Například platí následující vlastnosti:

{displaystyle P_ {i} ^ {2} = 1, i = 1,2, ..., 2k}

, a

{displaystyle P_ {i} P_ {j} = - P_ {j} P_ {i}}

pro všechny nerovné páry i a j. (Cliffordské vztahy.)

Tedy algebra generovaná P_i je Cliffordova algebra euklidovský n-prostor.

Nechat A označují algebru generovanou těmito maticemi. Počítáním rozměrů A je kompletní 2^k×2^k maticová algebra nad komplexními čísly. Jako maticová algebra tedy působí na 2^k-dimenzionální vektory sloupců (se složitými položkami). Tyto vektory sloupců jsou rotory.

Nyní se obrátíme k působení ortogonální skupiny na spinory. Zvažte použití ortogonální transformace na souřadnice, které zase působí na P_i přes

{displaystyle P_ {i} mapsto R (P) _ {i} = součet _ {j} R_ {ij} P_ {j}}

.

To znamená ${displaystyle Rin SO (n)}$ . Protože P_i generovat A, akce této transformace se vztahuje na všechny A a vyrábí automorfismus z A. Ze základní lineární algebry musí být každý takový automorfismus dán a změna základny. Proto existuje matice S, záleží na R, takový, že

{displaystyle R (P) _ {i} = S (R) P_ {i} S (R) ^ {- 1}}

(1).

Zejména, S(R) bude působit na vektory sloupců (spinory). Rozložením rotací na produkty odrazů lze napsat vzorec pro S(R) v podstatě stejným způsobem jako v případě tří dimenzí.

Existuje více než jedna matice S(R), který produkuje akci v (1). Nejednoznačnost definuje S(R) až do nonevanescentního skalárního faktoru C. Od té doby S(R) a cS(R) definují stejnou transformaci (1), působení ortogonální skupiny na spinory není jednohodnotové, ale místo toho sestupuje k akci na projektivní prostor spojené s prostorem spinorů. Tuto akci s více hodnotami lze zostřit normalizací konstanty C takovým způsobem, že (det S(R))² = 1. K tomu je však nutné diskutovat o tom, jak lze identifikovat prostor spinorů (vektory sloupců) s jejich duálními (vektory řádků).

Abychom identifikovali spinory s jejich duálními, dovolte C být matice definovaná

{displaystyle C = Potimes Qotimes Potimes tečky otimes Q.}

Potom konjugace C převádí a P_i matice k její transpozici: ^tP_i = C P_i C⁻¹. Pod akcí rotace

{displaystyle {hbox {}} ^ {t} P_ {i} ightarrow, ^ {t} S (R) ^ {- 1}, ^ {t} P_ {i}, ^ {t} S (R) = ( CS (R) C ^ {- 1}), ^ {t} P_ {i} (CS (R) C ^ {- 1}) ^ {- 1}}

odkud C S(R) C⁻¹ = α ^tS(R)⁻¹ pro některé skalární α. Skalární faktor α lze nastavit na rovný jednomu změnou měřítka S(R). Za těchto okolností (det S(R))² = 1, podle potřeby.

Ve fyzice matice C se běžně interpretuje jako konjugace náboje.

Weyl spinors

Nechat U být prvkem algebry A definován

{displaystyle U = {mathbf {1}} 'otimes tečky otimes {mathbf {1}}'}

, (k faktory).

Pak U je zachována při rotaci, tedy zejména její rozklad vlastního prostoru (což nutně odpovídá vlastním číslům +1 a -1, vyskytujícím se ve stejném počtu) je také stabilizován rotací. V důsledku toho každý spinor připouští rozklad na vlastní vektory pod U:

ξ = ξ⁺ + ξ⁻

do pravák Weyl spinor ξ⁺ a a levák Weyl spinor ξ⁻. Protože rotace zachovávají vlastní prostory Usamotné rotace fungují úhlopříčně jako matice S(R)⁺, S(R)⁻ přes

(S(R) ξ)⁺ = S⁺(R) ξ⁺, a

(S(R) ξ)⁻ = S⁻(R) ξ⁻.

Tento rozklad však není stabilní nesprávné otáčení (např. odrazy v nadrovině). Odraz v nadrovině má za následek záměnu dvou vlastních prostorů. Existují tedy dvě neredukovatelné reprezentace rotace v sudých rozměrech dané levou a pravou rukou Weylovými spinory, z nichž každá má rozměr 2^k-1. Existuje však pouze jeden neredukovatelný pinová reprezentace (viz níže) z důvodu ne invariance výše uvedeného rozkladu vlastního prostoru při nesprávných rotacích, který má rozměr 2^k.

Zvláštní případ

V kvantizaci pro liché číslo 2k+1 rozměrů, matice Pⁱ mohou být zavedeny výše i = 1,2,...,2ka k systému lze připojit následující matici:

{displaystyle P_ {n} = {mathbf {1}} 'otimes tečky otimes {mathbf {1}}'}

, (k faktory),

takže Cliffordské vztahy stále platí. Toto doplnění nemá žádný vliv na algebru A matic generovaných P_i, protože v obou případech A je stále úplná maticová algebra stejné dimenze. Tím pádem A, což je kompletní 2^k×2^k maticová algebra, není Cliffordova algebra, což je algebra dimenze 2 × 2^k×2^k. Spíše A je kvocient Cliffordovy algebry určitým ideálem.

Lze však ukázat, že pokud R je správná rotace (ortogonální transformace určující), pak rotace mezi souřadnicemi

{displaystyle R (P) _ {i} = součet _ {j} R_ {ij} P_ {j}}

je opět automorfismem A, a tak vyvolává změnu základny

{displaystyle R (P) _ {i} = S (R) P_ {i} S (R) ^ {- 1}}

přesně jako v sudém případě. Projektivní reprezentace S(R) může být znovu normalizován, takže (det S(R))² = 1. Může být dále rozšířen na obecné ortogonální transformace nastavením S(R) = -S(-R) v případě det R = -1 (tj. Pokud R je obrácení).

V případě lichých rozměrů není možné rozdělit spinor na pár Weylových spinorů a spinory tvoří neredukovatelné zastoupení skupiny spinů. Stejně jako v sudém případě je možné identifikovat spinory s jejich duálními, ale pro jednu výhradu. Identifikace prostoru spinorů s jeho duálním prostorem je neměnná správně rotace, a tak jsou tyto dva prostory rotačně ekvivalentní. Pokud však nevhodný bere se také v úvahu rotace, pak rotační prostor a jeho duální nejsou izomorfní. Zatímco tedy existuje pouze jedna reprezentace rotace v lichých rozměrech, existuje dvojice nerovnocenných pinové reprezentace. Tato skutečnost není zjevná z Weylova kvantizačního přístupu a je snadněji viditelná zvážením reprezentací úplné Cliffordovy algebry.

Viz také

Poznámky

^ Brauer, Richard; Weyl, Hermann (1935). „Spinors in n rozměry". Dopoledne. J. Math. 57: 425–449. doi:10.2307/2371218. JFM 61.1025.06. JSTOR 2371218. Zbl 0011.24401..

[1] Brauer, Richard; Weyl, Hermann (1935). „Spinors in n rozměry". Dopoledne. J. Math. 57: 425–449. doi:10.2307/2371218. JFM 61.1025.06. JSTOR 2371218. Zbl 0011.24401..

[1]