Witten dohad - Witten conjecture
v algebraická geometrie, Witten dohad je dohad o křižovatková čísla stabilních tříd na internetu prostor modulů křivek, představil Edward Witten v novinách Witten (1991 ), a zobecněn v Witten (1993). Wittenova původní domněnka byla prokázána Maxim Kontsevich v novinách Kontsevich (1992).
Wittenovou motivací pro domněnku bylo, že dva různé modely 2-dimenzionálního kvantová gravitace by měl mít stejnou funkci oddílu. Funkci oddílu pro jeden z těchto modelů lze popsat pomocí čísel křižovatek na zásobník modulů z algebraické křivky a funkce oddílu protože druhý je logaritmus τ-funkce z Hierarchie KdV. Identifikace těchto funkcí oddílu dává Wittenovu domněnku, že určitá generující funkce vytvořená z čísel křižovatek by měla splňovat diferenciální rovnice hierarchie KdV.
Tvrzení
Předpokládejme to MG,n je modul modulů kompaktní Riemannovy plochy rodu G s n výrazné označené body X1,...,Xn, a MG,n je jeho zhutnění Deligne – Mumford. Existují n svazky řádků Li na MG,n, jehož vlákno v bodě sady modulů je dáno kotangensním prostorem Riemannovy plochy ve vyznačeném bodě Xi. Průsečíkový index 〈τd1, ..., τdn〉 Je průsečíkový index Π C1(Li)di na MG,n kde Σdi = dimMG,n = 3G – 3 + na 0, pokud takové neexistují G existuje, kde C1 je první Třída Chern svazku řádků. Wittenova generující funkce
kóduje všechny průsečíkové indexy jako své koeficienty.
Wittenova domněnka uvádí, že funkce oddílu Z = exp F je funkce τ pro Hierarchie KdV, jinými slovy, splňuje určitou řadu parciálních diferenciálních rovnic odpovídajících základu z Virasoro algebra.
Důkaz
Kontsevich k tomu ukázal kombinační popis prostorů modulů, pokud jde o pásové grafy
Zde je součet vpravo nad množinou GG,n pásových grafů X kompaktních Riemannův povrchů rodu G s n označené body. Sada hran E a body X jsou označeny X 0 a X1. Funkce λ je považována za funkci od označených bodů ke skutečným a je rozšířena na okraje pásu karet nastavením λ hrany rovné součtu λ ve dvou označených bodech odpovídajících každé straně hrany.
Z technik Feynmanova diagramu to znamená F(t0, ...) je asymptotická expanze
jako Λ půjčuje do nekonečna, kde Λ a Χ jsou kladně definitivní N podle N poustevnické matice a ti je dána
a míra pravděpodobnosti μ na kladných určitých hermitovských maticích je dána vztahem
kde CΛ je normalizační konstanta. Toto opatření má tu vlastnost, že
což znamená, že jeho expanze z hlediska Feynmanových diagramů je výrazem pro F pokud jde o pásové grafy.
Z toho odvodil, že exp F je τ-funkce pro hierarchii KdV, což dokazuje Wittenovu domněnku.
Zobecnění
Wittenova domněnka je zvláštním případem obecnějšího vztahu mezi integrovatelné systémy Hamiltonovských PDE a geometrie určitých rodin 2D topologických polních teorií (axiomatizovaných ve formě tzv. kohomologických polních teorií Kontsevichem a Maninem), které systematicky zkoumali a studovali B. Dubrovin a Y. Zhang, A. Givental, C. Teleman a další.
The Virasoro domněnka je zevšeobecněním Wittenova domněnky.
Reference
- Cornalba, Maurizio; Arbarello, Enrico; Griffiths, Phillip A. (2011), Geometrie algebraických křivek. Svazek IIGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 268, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-69392-5, ISBN 978-3-540-42688-2, PAN 2807457
- Kazarian, M. E .; Lando, Sergei K. (2007), „Algebro-geometrický důkaz Wittenova domněnky“, Journal of the American Mathematical Society, 20 (4): 1079–1089, arXiv:matematika / 0601760, Bibcode:2007JAMS ... 20,1079 tis, doi:10.1090 / S0894-0347-07-00566-8, ISSN 0894-0347, PAN 2328716
- Kontsevich, Maxim (1992), "Průniková teorie o modulovém prostoru křivek a maticové vzdušné funkci", Komunikace v matematické fyzice, 147 (1): 1–23, Bibcode:1992CMaPh.147 .... 1K, doi:10.1007 / BF02099526, ISSN 0010-3616, PAN 1171758
- Lando, Sergei K .; Zvonkin, Alexander K. (2004), Grafy povrchů a jejich aplikace (PDF)Encyklopedie matematických věd, 141, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00203-1, PAN 2036721
- Witten, Edward (1991), „Dvojrozměrná teorie gravitace a průniku na modulovém prostoru“, Průzkumy v diferenciální geometrii (Cambridge, MA, 1990), 1, Bethlehem, PA: Lehigh Univ., S. 243–310, ISBN 978-0-8218-0168-0, PAN 1144529
- Witten, Edward (1993), „Algebraická geometrie spojená s maticovými modely dvourozměrné gravitace“, Goldberg, Lisa R .; Phillips, Anthony V. (eds.), Topologické metody v moderní matematice (Stony Brook, NY, 1991)„Sborník ze sympozia na počest šedesátých narozenin Johna Milnora konaného na State University of New York, Stony Brook, New York, 14. – 21. Června 1991., Houston, TX: Publish or Perish, s. 235–269, ISBN 978-0-914098-26-3, PAN 1215968