Skupina vedení - Line group
A skupina linek je matematický způsob popisu symetrie spojené s pohybem po čáře. Tyto symetrie zahrnují opakování podél této čáry, čímž se tato čára stává jednorozměrnou mřížkou. Skupiny čar však mohou mít více než jednu dimenzi a mohou do ní zahrnout tyto dimenze izometrie nebo symetrické transformace.
Jeden vytvoří skupinu čar tak, že vezme a bodová skupina v celých rozměrech prostoru a poté přidáním překladů nebo posunů podél čáry ke každému z prvků skupiny bodů, způsobem konstrukce vesmírná skupina. Mezi tyto posuny patří opakování a zlomek opakování, jeden zlomek pro každý prvek. Pro větší pohodlí jsou zlomky zmenšeny na velikost opakování; jsou tedy v linii jednotková buňka segment.
Jednorozměrný
K dispozici jsou 2 jednorozměrné skupiny čar. Jsou to nekonečné limity diskrétního dvourozměrné skupiny bodů Cn a D.n:
Zápisy | Popis | Příklad | |||
---|---|---|---|---|---|
Mezinárodní | Orbifold | Coxeter | P.G. | ||
p1 | ∞∞ | [∞]+ | C∞ | Překlady. Abstraktní skupina Z, přidaná celá čísla | ... --> --> --> --> ... |
p1m | *∞∞ | [∞] | D∞ | Úvahy. Abstraktní skupina Dih∞, nekonečná dihedrální skupina | ... --> <-- --> <-- ... |
Dvourozměrný
Je jich 7 vlysové skupiny, které zahrnují odrazy podél čáry, odrazy kolmé k čáře a otočení o 180 ° ve dvou rozměrech.
IUC | Orbifold | Schönflies | Conway | Coxeter | Základní doména |
---|---|---|---|---|---|
p1 | ∞∞ | C∞ | C∞ | [∞,1]+ | ![]() |
p1m1 | *∞∞ | C.V | CD2∞ | [∞,1] | ![]() |
p11g | ∞x | S2∞ | CC2∞ | [∞+,2+] | ![]() |
p11m | ∞* | C.H | ± C.∞ | [∞+,2] | ![]() |
p2 | 22∞ | D∞ | D2∞ | [∞,2]+ | ![]() |
p2mg | 2*∞ | D.D | DD4∞ | [∞,2+] | ![]() |
p2mm | *22∞ | D.H | ± D.2∞ | [∞,2] | ![]() |
Trojrozměrný
Existuje 13 nekonečných rodin třídimenzionálních liniových skupin,[1] odvozeno od 7 nekonečných rodin axiálních trojrozměrné skupiny bodů. Stejně jako u skupin prostorů obecně, skupiny čar se stejnou skupinou bodů mohou mít různé vzory posunů. Každá z rodin je založena na skupině rotací kolem osy s řádem n. Skupiny jsou uvedeny v Hermann-Mauguinova notace, a pro bodové skupiny, Schönfliesova notace. Zdá se, že neexistuje žádná srovnatelná notace pro skupiny čar. Tyto skupiny lze také interpretovat jako vzorce skupiny tapet[2] omotaný kolem válce n krát a nekonečně se opakující podél osy válce, podobně jako skupiny trojrozměrných bodů a skupiny vlysu. Tabulka těchto skupin:
Skupina bodů | Skupina vedení | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
H-M | Schönf. | Koule. | Kormidelník. | H-M | Typ ofsetu | Tapeta na zeď | Coxeter [∞h, 2, sproti] | ||||
Dokonce n | Zvláštní n | Dokonce n | Zvláštní n | IUC | Orbifold | Diagram | |||||
n | Cn | nn | [n]+ | Pnq | Spirálové: q | p1 | Ó | ![]() | [∞+, 2, n+] | ||
2n | n | S2n | n × | [2+, 2n+] | P2n | Pn | Žádný | p11g, pg (h) | ×× | ![]() | [(∞,2)+, 2n+] |
n/ m | 2n | Cnh | n * | [2, n+] | Pn/ m | P2n | Žádný | p11m, pm (h) | ** | ![]() | [∞+, 2, n] |
2n/ m | C2nh | (2n) * | [2,2n+] | P2nn/ m | Cikcak | c11m, cm (v) | *× | ![]() | [∞+,2+, 2n] | ||
nmm | nm | Cnproti | * nn | [n] | Pnmm | Pnm | Žádný | p1m1, pm (v) | ** | ![]() | [∞, 2, n+] |
Pncc | PnC | Planární odraz | p1g1, pg (v) | ×× | ![]() | [∞+, (2, n)+] | |||||
2nmm | C2nproti | * (2n) (2n) | [2n] | P2nnmc | Cikcak | c1m1, cm (v) | *× | ![]() | [∞,2+, 2n+] | ||
n22 | n2 | Dn | n22 | [2, n]+ | Pnq22 | Pnq2 | Spirálové: q | p2 | 2222 | ![]() | [∞, 2, n]+ |
2n2 m | nm | Dnd | 2 * n | [2+, 2n] | P2n2 m | Pnm | Žádný | p2gm, pmg (v) | 22* | ![]() | [(∞,2)+, 2n] |
P2n2c | PnC | Planární odraz | p2gg, pgg | 22× | ![]() | [+(∞, (2), 2n)+] | |||||
n/ mmm | 2n2 m | Dnh | * n22 | [2, n] | Pn/ mmm | P2n2 m | Žádný | p2mm, pmm | *2222 | ![]() | [∞, 2, n] |
Pn/ mcc | P2n2c | Planární odraz | p2mg, pmg (h) | 22* | ![]() | [∞, (2, n)+] | |||||
2n/ mmm | D2nh | * (2n) 22 | [2,2n] | P2nn/ mcm | Cikcak | c2mm, cmm | 2*22 | ![]() | [∞,2+, 2n] |
Typy ofsetu jsou:
- Bez offsetu.
- Spirálový offset s helicitou q. Pro C.n(q) a D.n(q), axiální rotace k mimo n má offset (q/n)k mod 1. Částice podrobené postupným rotacím tak vystopujeme spirálu. Dn(q) zahrnuje otočení o 180 ° v osách v kolmé rovině; tyto osy mají stejný spirálovitý vzor posunů vzhledem k jejich směrům.
- Cikcak offset. Helikální offset pro helicitu q = n pro celkový počet 2n. Axiální rotace k ze 2n má 1/2, pokud je liché, 0, pokud je sudé, a podobně pro ostatní prvky.
- Posun planárního odrazu. Každý prvek, který je odrazem ve směru v kolmé rovině, má posun o 1/2. Je to analogické s tím, co se děje ve vlysových skupinách p11g a p2mg.
Skupiny tapet pm, pg, cm a pmg se zobrazují dvakrát. Každý vzhled má jinou orientaci vzhledem k ose skupiny řádků; odraz rovnoběžný (h) nebo kolmý (v). Ostatní skupiny nemají takovou orientaci: p1, p2, pmm, pgg, cmm.
Pokud je skupina bodů omezena na a krystalografická skupina bodů, symetrie nějaké trojrozměrné mřížky, pak se výsledná skupina čar nazývá a skupina prutů. Existuje 75 skupin prutů.
- The Coxeterova notace je založen na pravoúhlých skupinách tapet, přičemž svislá osa je zabalena do válce se symetrickým řádem n nebo 2n.
Přechod na hranici kontinua s n do ∞ se možné skupiny bodů stanou C.∞, C..H, C..V, D∞a D..Ha skupiny čar mají příslušná možná vyrovnání, s výjimkou cikcaku.
Spirálová symetrie

Skupiny Cn(q) a D.n(q) vyjadřují symetrie spirálových objektů. Cn(q) je pro |q| šroubovice orientované stejným směrem, zatímco Dn(q) je pro |q| neorientované šroubovice a 2 |q|, šroubovice se střídavými orientacemi. Obrácení znamení q vytváří zrcadlový obraz a obrací chiralitu nebo předání helixů. Šroubovice mohou mít své vlastní vnitřní délky opakování; n se stane počtem závitů nezbytným k vytvoření celočíselného počtu vnitřních opakování. Pokud je ale spirála spirála a vnitřní opakování nekombinovatelné (poměr není racionální číslo), pak n je skutečně ∞.
Nukleové kyseliny, DNA a RNA, jsou dobře známé svou šroubovicovou symetrií. Nukleové kyseliny mají dobře definovaný směr, což dává jednotlivým řetězcům Cn(1). Dvojité prameny mají opačné směry a jsou na opačných stranách osy šroubovice, což jim dává Dn(1).
Viz také
Reference
- ^ Damnjanovic, Milán; Miloševič, Ivanka (2010), "Struktura skupin řádků" (PDF), Skupiny řádků ve fyzice: Teorie a aplikace na nanotrubice a polymery (poznámky k přednášce ve fyzice)Springer, ISBN 978-3-642-11171-6
- ^ Rassat, André (1996), „Symetrie ve sféroalkanech, fullerenech, tubulech a dalších sloupcovitých agregátech“, Tsoucaris, Georges; Atwood, J.L .; Lipkowski, Janusz (eds.), Krystalografie supramolekulárních sloučeninNATO Science Series C: (uzavřeno), 480, Springer, str. 181–201, ISBN 978-0-7923-4051-5 (books.google.com [1] )