Paradox Parrondos - Parrondos paradox - Wikipedia

Parrondův paradox, a paradox v herní teorie, byl popsán jako: Kombinace ztrátových strategií se stává vítěznou strategií.^[1] Je pojmenována po svém tvůrci, Juan Parrondo, který paradox objevil v roce 1996. Vysvětlující popis je:

Existují dvojice her, z nichž každá má vyšší pravděpodobnost prohry než výhry, pro něž je možné sestrojit vítěznou strategii střídavým hraním her.

Parrondo vymyslel paradox v souvislosti s jeho analýzou Brownova ráčna, a myšlenkový experiment o stroji, který údajně dokáže extrahovat energii z náhodných tepelných pohybů popularizovaných fyzikem Richard Feynman. Paradox však při důkladné analýze zmizí.^[2] Vítězné strategie skládající se z kombinací ztrátových strategií byly v biologii prozkoumány před zveřejněním Parrondova paradoxu.^[3] V poslední době byly problémy v evoluční biologii a ekologii modelovány a vysvětlovány z hlediska paradoxu.^[4][5]

Pravděpodobný prostor Parrondova paradoxu ze Shu & Wang, 2014.^[2]

Ilustrativní příklady

Příklad pilového zubu

Obrázek 1

Zvažte příklad, ve kterém jsou dva body A a B mají stejnou nadmořskou výšku, jak je znázorněno na obrázku 1. V prvním případě je spojujeme s plochým profilem. Tady, pokud necháme uprostřed kulaté kuličky, které se náhodně pohybují tam a zpět, budou se váhat náhodně, ale směrem k oběma koncům se stejnou pravděpodobností. Nyní zvažte druhý případ, kdy mezi nimi máme oblast podobnou zubu. Také zde se kuličky budou válet ke každému konci se stejnou pravděpodobností (pokud by existovala tendence pohybovat se jedním směrem, kuličky v kruhu tohoto tvaru by měly tendenci spontánně extrahovat tepelnou energii k otáčení, což by porušilo druhý zákon termodynamiky). Nyní, když nakloníme celý profil doprava, jak je znázorněno na obrázku 2, je zcela jasné, že oba tyto případy budou zkreslené směrem k B.

Nyní zvažte hru, ve které střídáme dva profily, a přitom uvážlivě volíme čas mezi střídáním z jednoho profilu do druhého.

Obrázek 2

Když necháme několik kuliček na prvním profilu v bodě E, distribuují se v rovině a ukazují preferenční pohyby směrem k bodu B. Použijeme-li však druhý profil, když některé kuličky překročily hranici C, ale žádný neprošel hranicí D, budeme mít většinu kuliček zpět v bodě E (odkud jsme původně začínali), ale někteří také v údolí směrem k bodu A dostal dostatek času, aby se kuličky odvalily do údolí. Poté znovu použijeme první profil a opakujeme kroky (body C, D a E nyní se posunul o jeden krok, aby odkazoval na poslední údolí nejblíže A). Pokud žádný kuličkový kříž C před bodem prvního mramoru D, musíme brzy použít druhý profil před první mramorový kříž D, začít znovu.

Snadno z toho vyplývá, že nakonec budeme mít kuličky v bodě A, ale v tuto chvíli žádný B. Tudíž pokud definujeme, že má kuličky v bodě A jako výhra a kuličky v bodě B jako prohra jasně vyhráváme střídáním (ve správně zvolených časech) mezi hraním dvou prohraných her.

Příklad házení mincí

Druhý příklad Parrondova paradoxu čerpáme z oblasti hazardních her. Zvažte hraní dvou her, Hra A a Hra B s následujícími pravidly. Pro větší pohodlí definujte ${ displaystyle C_ {t}}$ být naším hlavním městem tbezprostředně před hraním hry.

1. Výhra ve hře nám vydělá 1 $ a prohra vyžaduje, abychom se vzdali 1 $. Z toho vyplývá, že ${ displaystyle C_ {t + 1} = C_ {t} +1}$ pokud vyhrajeme krokem t a ${ displaystyle C_ {t + 1} = C_ {t} -1}$ pokud v kroku prohrajeme t.
2. v Hra A, hodíme zaujatou minci, Coin 1, s pravděpodobností výhry ${ displaystyle P_ {1} = (1/2) - epsilon}$. Li ${ displaystyle epsilon> 0}$, to je z dlouhodobého hlediska jednoznačně prohraná hra.
3. v Hra B, nejprve určíme, zda je náš kapitál násobkem nějakého celého čísla ${ displaystyle M}$. Pokud ano, hodíme zaujatou minci, Coin 2, s pravděpodobností výhry ${ displaystyle P_ {2} = (1/10) - epsilon}$. Pokud tomu tak není, hodíme další zaujatou minci, Coin 3, s pravděpodobností výhry ${ displaystyle P_ {3} = (3/4) - epsilon}$. Role modulo ${ displaystyle M}$ poskytuje periodicitu jako u rohatkových zubů.

Je jasné, že hraním hry A z dlouhodobého hlediska téměř jistě prohrajeme. Harmer a Abbott^[1] ukázat pomocí simulace, že pokud ${ displaystyle M = 3}$ a ${ displaystyle epsilon = 0,005,}$ Hra B je téměř jistě také prohranou hrou. Ve skutečnosti je hra B a Markovův řetězec a analýza matice přechodu stavu (opět s M = 3) ukazuje, že pravděpodobnost ustáleného stavu použití mince 2 je 0,3836 a pravděpodobnost použití mince 3 je 0,6164.^[6] Jelikož je coin 2 vybrán téměř 40% času, má nepřiměřený vliv na výplatu ze hry B a vede k tomu, že je prohranou hrou.

Když se však tyto dvě prohrané hry hrají v nějaké střídavé posloupnosti - např. dvě hry A následované dvěma hrami B (AABBAABB ...), kombinace těchto dvou her je paradoxně vítězný hra. Ne všechny střídavé sekvence A a B vedou k vítězným hrám. Například jedna hra A následovaná jednou hrou B (ABABAB ...) je prohranou hrou, zatímco jedna hra A následovaná dvěma hrami B (ABBABB ...) je vítěznou hrou. Tento příklad házení mincí se stal kanonickou ilustrací Parrondova paradoxu - dvě hry, obě prohrané, když se hrají jednotlivě, se stávají vítěznou hrou, když se hrají v konkrétní střídavé posloupnosti.

Vyřešení paradoxu

Zjevný paradox byl vysvětlen pomocí řady sofistikovaných přístupů, včetně Markovových řetězců,^[7] blikající západky,^[8] Simulované žíhání^[9] a informační teorie.^[10] Jeden způsob, jak vysvětlit zjevný paradox, je následující:

• Zatímco hra B je prohranou hrou pod pravděpodobnostním rozdělením, které bude výsledkem ${ displaystyle C_ {t}}$ modulo ${ displaystyle M}$ když se hraje jednotlivě (${ displaystyle C_ {t}}$ modulo ${ displaystyle M}$ je zbytek, když ${ displaystyle C_ {t}}$ je rozděleno ${ displaystyle M}$), může to být vítězná hra v jiných distribucích, protože existuje alespoň jeden stav, ve kterém je její očekávání pozitivní.
• Vzhledem k tomu, že rozdělení výsledků hry B závisí na kapitálu hráče, tyto dvě hry nemůže být nezávislý. Pokud by byly, jejich hraní v libovolném pořadí by také prohrálo.

Role ${ displaystyle M}$ nyní zaostřuje. Slouží pouze k navození závislosti mezi hrami A a B, takže hráč pravděpodobně vstoupí do států, ve kterých má hra B pozitivní očekávání, což mu umožní překonat ztráty ze hry A. S tímto porozuměním se paradox sám vyřeší : Jednotlivé hry prohrávají pouze při distribuci, která se liší od distribuce, se kterou se ve skutečnosti setkáte při hraní složené hry. Stručně řečeno, Parrondův paradox je příkladem toho, jak může závislost způsobit katastrofu pravděpodobnostními výpočty provedenými za naivního předpokladu nezávislosti. Podrobnější výklad tohoto bodu spolu s několika souvisejícími příklady lze nalézt v publikacích Philips a Feldman.^[11]

Zjednodušený příklad

Pro jednodušší příklad toho, jak a proč paradox funguje, zvažte opět dvě hry Hra A a Hra B, tentokrát s následujícími pravidly:

1. v Hra A, jednoduše ztratíte $ 1 pokaždé, když budete hrát.
2. v Hra B, spočítáte, kolik peněz vám zbývá. Pokud je sudé číslo, vyhrajete 3 $. Jinak ztratíte 5 $.

Řekněme, že začínáte se 100 $ v kapse. Pokud začnete hrát hru A výhradně, evidentně přijdete o všechny své peníze ve 100 kolech. Podobně, pokud se rozhodnete hrát výhradně hru B, ztratíte také všechny své peníze ve 100 kolech.

Zvažte však alternativní hraní her, počínaje hrou B, následovanou A, poté B atd. (BABABA ...). Mělo by být snadné vidět, že za každé dvě hry budete neustále vydělávat celkem 2 $.

I když tedy každá hra představuje prohrávající nabídku, pokud se hraje samostatně, protože výsledky hry B jsou ovlivněny hrou A, pořadí, ve kterém se hry hrají, může ovlivnit, jak často vám hra B vydělává peníze, a následně je výsledek jiný z případu, kdy se některá hra hraje sama.

Aplikace

Parrondoův paradox se hojně používá v teorii her a její aplikaci na inženýrství, populační dynamiku,^[3] finanční riziko atd. jsou oblasti aktivního výzkumu. Hry Parrondo jsou málo praktické, například pro investování burzy^[12] protože původní hry vyžadují výplatu alespoň u jedné ze vzájemně se ovlivňujících her, aby byly závislé na kapitálu hráče. Hry však nemusí být omezeny na svou původní podobu a pokračují práce na zevšeobecňování tohoto jevu. Podobnosti s čerpáním volatility a Problém se dvěma obálkami^[13] bylo poukázáno. K prokázání toho, že jednotlivé investice s negativním středním dlouhodobým výnosem lze snadno kombinovat do diverzifikovaných portfolií s pozitivním středním dlouhodobým výnosem, jsme použili jednoduché učebnice financí.^[14] Podobně byl použit model, který se často používá k ilustraci optimálních pravidel sázení, aby prokázal, že rozdělení sázek mezi více her může proměnit negativní medián dlouhodobého výnosu na pozitivní.^[15] V evoluční biologii oba bakteriální náhodné fázové variace^[16] a vývoj méně přesných senzorů^[4] byly modelovány a vysvětleny z hlediska paradoxu. V ekologii bylo jako projev paradoxu navrhováno periodické střídání určitých organismů mezi kočovným a koloniálním chováním.^[5] V důsledku paradoxu došlo k zajímavé aplikaci při modelování mnohobuněčného přežití^[17] a několik zajímavých diskusí o proveditelnosti.^[18][19] Aplikace Parrondova paradoxu lze nalézt také v teorii spolehlivosti.^[20] Zainteresovaní čtenáři se mohou odvolat na tři recenze, které byly v průběhu let publikovány,^[21][22] přičemž poslední zkoumá Parrondoův efekt napříč biologií.^[23]

název

V rané literatuře o Parrondově paradoxu se diskutovalo o tom, zda je slovo „paradox“ vhodným popisem, jelikož Parrondův efekt lze chápat matematicky. „Paradoxní“ efekt lze matematicky vysvětlit pomocí konvexní lineární kombinace.

Nicméně, Derek Abbott, přední výzkumný pracovník v tomto tématu, poskytuje následující odpověď ohledně použití slova „paradox“ v této souvislosti:

Je Parrondův paradox skutečně „paradoxem“? Tuto otázku si někdy kladou matematici, zatímco fyzici si s takovými věcmi obvykle nedělají starosti. První věc, na kterou je třeba poukázat, je, že „Parrondův paradox“ je jen jméno, stejně jako „Braessův paradox „nebo“Simpsonův paradox. "Zadruhé, stejně jako u většiny z těchto pojmenovaných paradoxů se jedná o skutečně zjevné paradoxy. Lidé v těchto případech upouštějí od slova„ zjevné ", protože se jedná o sousta, a stejně je to zřejmé. Takže nikdo netvrdí, že se jedná o paradoxy v užším slova smyslu. V širším slova smyslu je paradox prostě něco, co je neintuitivní. Parrondovy hry jsou určitě neintuitivní - přinejmenším do doby, než je budete několik měsíců intenzivně studovat. Pravdou je, že stále hledáme nové překvapivé věci, které potěší nás, když zkoumáme tyto hry. Měl jsem jednoho matematika, který si stěžoval, že hry mu byly vždy zřejmé, a proto bychom neměli používat slovo „paradox.“ Je buď génius, nebo to vůbec vůbec nepochopil. v obou případech nestojí za to se s takovými lidmi dohadovat.^[24]

Viz také

• Efekt para ořechů
• Brownova ráčna
• Herní teorie
• Seznam paradoxů
• Ráčnový efekt
• Statistická mechanika

Reference

Další čtení

• John Allen Paulos, Matematik hraje na akciovém trhu Základní knihy, 2004, ISBN  0-465-05481-1.
• Neil F. Johnson Paul Jefferies, Pak Ming Hui, Složitost finančního trhu, Oxford University Press, 2003, ISBN  0-19-852665-2.
• Ning Zhong a Jiming Liu, Technologie inteligentních agentů: výzkum a vývoj, World Scientific, 2001, ISBN  981-02-4706-0.
• Elka Korutcheva a Rodolfo Cuerno, Pokroky v kondenzovaných látkách a statistické fyzice Vydavatelé Nova, 2004, ISBN  1-59033-899-5.
• Maria Carla Galavotti, Roberto Scazzieri a Patrick Suppes, Úvaha, racionalita a pravděpodobnost Centrum pro studium jazyka a informací, 2008, ISBN  1-57586-557-2.
• Derek Abbott a Laszlo B. Kish, Nevyřešené problémy s hlukem a výkyvy, Americký fyzikální ústav, 2000, ISBN  1-56396-826-6.
• Visarath In, Patrick Longhini a Antonio Palacios, Aplikace nelineární dynamiky: Model a návrh složitých systémů, Springer, 2009, ISBN  3-540-85631-5.
• Marc Moore, Sorana Froda a Christian Léger, Matematická statistika a aplikace: Festschrift pro Constance van Eeden, IMS, 2003, ISBN  0-940600-57-9.
• Ehrhard Behrends, Fünf Minuten Mathematik: 100 Beiträge der Mathematik-Kolumne der Zeitung Die Welt, Vieweg + Teubner Verlag, 2006, ISBN  3-8348-0082-1.
• Lutz Schimansky-Geier, Hluk ve složitých systémech a stochastická dynamika, SPIE, 2003, ISBN  0-8194-4974-1.
• Susan Shannon, Umělá inteligence a informatika Vydavatelé Nova Science, 2005, ISBN  1-59454-411-5.
• Eric W. Weisstein, CRC Stručná encyklopedie matematiky, CRC Press, 2003, ISBN  1-58488-347-2.
• David Reguera, José M. G. Vilar a José-Miguel Rubí, Statistická mechanika biokomplexity Springer, 1999, ISBN  3-540-66245-6.
• Sergej M. Bezrukov, Nevyřešené problémy s hlukem a výkyvy, Springer, 2003, ISBN  0-7354-0127-6.
• Julian Chela-Flores, Tobias C. Owen a F. Raulin, První kroky v počátcích života ve vesmíru Springer, 2001, ISBN  1-4020-0077-4.
• Tönu Puu a Irina Sushko, Dynamika hospodářského cyklu: modely a nástroje, Springer, 2006, ISBN  3-540-32167-5.
• Andrzej S. Nowak a Krzysztof Szajowski, Pokroky v dynamických hrách: aplikace pro ekonomiku, finance, optimalizaci a stochastickou kontrolu, Birkhäuser, 2005, ISBN  0-8176-4362-1.
• Cristel Chandre, Xavier Leoncini a George M. Zaslavsky, Chaos, složitost a transport: teorie a aplikace, World Scientific, 2008, ISBN  981-281-879-0.
• Richard A. Epstein, Teorie hazardu a statistická logika (Druhé vydání), Academic Press, 2009, ISBN  0-12-374940-9.
• Clifford A. Pickover, Matematická kniha, Sterling, 2009, ISBN  1-4027-5796-4.

externí odkazy

• J. M. R. Parrondo, Parrondovy paradoxní hry
• Profil Google Scholar paradoxu Parrondo
• Článek v přírodě o Parrondově paradoxu
• Alternativní hra zvyšuje výhru: je to zákon
• Oficiální stránka paradoxu Parrondo
• Parrondoův paradox - simulace
• Wizard of Odds on Parrondo's Paradox
• Parrondo's Paradox na Marnost skříň
• Parrondo's Paradox ve Wolframu
• Online Parrondo simulátor
• Parrondoův paradox v Maplesoftu
• Donald Catlin o Parrondově paradoxu
• Parrondoův paradox a poker
• Parrondoův paradox a epistemologie
• Parrondoův paradoxní zdroj
• Optimální adaptivní strategie a Parrondo
• Behrends na Parrondo
• Bůh nestřílí kecy
• Parrondoův paradox v chemii
• Parrondoův paradox v genetice
• Parrondoův efekt v kvantové mechanice
• Finanční diverzifikace a Parrondo