Nyquist – Shannonova věta o vzorkování - Nyquist–Shannon sampling theorem

Příklad velikosti Fourierovy transformace funkce s omezením pásma

The Nyquist – Shannonova věta o vzorkování je věta v oboru zpracování digitálních signálů který slouží jako základní most mezi signály nepřetržitého času a signály diskrétního času. Stanovuje dostatečnou podmínku pro a vzorkovací frekvence , který umožňuje diskrétní sekvenci Vzorky zachytit všechny informace z nepřetržitého konečného signálu šířka pásma.

Přísně vzato, věta platí pouze pro třídu matematické funkce mít a Fourierova transformace to je nula mimo konečnou oblast frekvencí. Intuitivně očekáváme, že když člověk redukuje spojitou funkci na diskrétní sekvenci a interpoluje zpět na spojitou funkci, věrnost výsledku závisí na hustotě (nebo vzorkovací frekvence ) původních vzorků. Věta o vzorkování zavádí koncept vzorkovací frekvence, která je dostatečná pro dokonalou věrnost pro třídu funkcí, které jsou pásmo omezeno na danou šířku pásma tak, aby se v procesu vzorkování neztratily žádné skutečné informace. Vyjadřuje dostatečnou vzorkovací frekvenci z hlediska šířky pásma pro třídu funkcí. Věta také vede k vzorci pro dokonalou rekonstrukci původní funkce spojitého času ze vzorků.

Dokonalá rekonstrukce může být stále možná, pokud není splněno kritérium vzorkovací frekvence, za předpokladu, že jsou známa další omezení signálu (viz § Vzorkování signálů mimo základní pásmo níže a komprimované snímání ). V některých případech (když není splněno kritérium vzorkovací frekvence) umožňuje využití dalších omezení přibližnou rekonstrukci. Věrnost těchto rekonstrukcí lze ověřit a kvantifikovat s využitím Bochnerova věta.^[1]

Název Nyquist – Shannonova věta o vzorkování vyznamenání Harry Nyquist a Claude Shannon, ale teorém byl také dříve objeven E. T. Whittaker (publikováno v roce 1915) a Shannon ve své práci citoval Whittakerův článek. To bylo také objeveno v roce 1933 Vladimir Kotelnikov. Věta je tedy známa také pod jmény Whittakerova – Shannonova věta o vzorkování, Nyquist – Shannon – Kotelnikov, Whittaker – Shannon – Kotelnikov, a Whittaker – Nyquist – Kotelnikov – Shannon, a může být také označován jako kardinální věta o interpolaci.

Úvod

Vzorkování je proces převodu signálu (například funkce spojitého času nebo prostoru) na posloupnost hodnot (funkce diskrétního času nebo prostoru). Shannon verze věty uvádí:^[2]

Pokud je funkce ${displaystyle x (t)}$ neobsahuje žádné frekvence vyšší než B hertz, je zcela určen tím, že jeho souřadnice budou v řadě bodů rozmístěných ${displaystyle 1 / (2B)}$ sekund od sebe.

Dostatečná vzorkovací frekvence je tedy něco většího než ${displaystyle 2B}$ vzorků za sekundu. Ekvivalentně pro danou vzorkovací frekvenci ${displaystyle f_ {s}}$, pro bandlimit je zaručena dokonalá rekonstrukce ${displaystyle B$.

Když je limit pásma příliš vysoký (nebo tam není limit pásma), rekonstrukce vykazuje nedokonalosti známé jako aliasing. Moderní výroky věty jsou někdy opatrní, aby to výslovně uvedly ${displaystyle x (t)}$ musí obsahovat č sinusový komponenta přesně na frekvenci Bnebo tak B musí být přísně menší než¹⁄₂ vzorkovací frekvence. Prahová hodnota ${displaystyle 2B}$ se nazývá Nyquistova sazba a je atributem vstupu spojitého času ${displaystyle x (t)}$ které mají být odebrány vzorky. Vzorkovací frekvence musí překročit Nyquistovu rychlost, aby vzorky stačily k reprezentaci X(t). Prahová hodnota F_s/ 2 se nazývá Nyquistova frekvence a je atributem vzorkovací zařízení. Všechny smysluplné frekvenční složky správně vzorkovaných X(t) existují pod Nyquistovou frekvencí. Podmínka popsaná těmito nerovnostmi se nazývá Nyquistovo kritérium, nebo někdy Raabův stav. Věta je také použitelná pro funkce jiných domén, jako je prostor, v případě digitalizovaného obrazu. Jedinou změnou v případě jiných domén jsou měrné jednotky, na které se vztahuje t, F_s, a B.

Normalizovaný funkce sinc: hřích (πX) / (πX) ... ukazující centrální vrchol v X = 0a nulové přechody na ostatních celočíselných hodnotách X.

The symbol T = 1/F_s se obvykle používá k reprezentaci intervalu mezi vzorky a nazývá se ukázkové období nebo interval vzorkování. Ukázky funkce X(t) jsou běžně označovány X[n] = X(nT) (alternativně "X_n"ve starší literatuře o zpracování signálu), pro všechny celočíselné hodnoty n. Matematicky ideální způsob interpolace sekvence zahrnuje použití funkce sinc. Každý vzorek v sekvenci je nahrazen funkcí sinc, vycentrovanou na časové ose v původním umístění vzorku, nT, s amplitudou funkce sinc upravenou na hodnotu vzorku, X[n]. Následně se funkce sinc sečtou do spojité funkce. Matematicky ekvivalentní metodou je spojit jednu funkci sinc s řadou Diracova delta pulsy vážené hodnotami vzorku. Žádná metoda není numericky praktická. Místo toho se používá nějaký typ aproximace funkcí sinc, konečná délka. Nedokonalosti, které lze přičíst aproximaci, jsou známé jako chyba interpolace.

Praktický digitálně-analogové převaděče nevyrábějí ani nezměňují a nezpožďují funkce sinc, ani ideální Dirac pulzuje. Místo toho vyrábějí a po částech konstantní posloupnost měřítka a zpoždění obdélníkové impulsy (dále jen zadržení nulového řádu ), obvykle následuje a dolní propust (nazývaný „filtr proti zobrazování“) k odstranění rušivých vysokofrekvenčních replik (obrazů) původního signálu základního pásma.

Aliasing

Vzorky dvou sinusových vln mohou být identické, když alespoň jeden z nich má frekvenci nad polovinou vzorkovací frekvence.

Když ${displaystyle x (t)}$ je funkce s a Fourierova transformace ${displaystyle X (f)}$:

${displaystyle X (f) riangleq int _ {- infty} ^ {infty} x (t) e ^ {- i2pi ft} {m {d}} t,}$

the Poissonův součtový vzorec naznačuje, že vzorky, ${displaystyle x (nT)}$, z ${displaystyle x (t)}$ jsou dostatečné k vytvoření periodický součet z ${displaystyle X (f)}$. Výsledek je:

X(F) (horní modrá) a X_A(F) (spodní modrá) jsou spojité Fourierovy transformace dvou odlišný funkce, ${displaystyle x (t)}$ a ${displaystyle x_ {A} (t)}$ (nezobrazeno). Když jsou funkce vzorkovány rychlostí ${displaystyle f_ {s}}$, obrázky (zelené) se přidají k původním transformacím (modré), když se zkoumá diskrétní Fourierova transformace (DTFT) sekvencí. V tomto hypotetickém příkladu jsou DTFT identické, což znamená vzorkované sekvence jsou identické, i když původní kontinuální předem vzorkované funkce nejsou. Pokud se jednalo o zvukové signály, ${displaystyle x (t)}$ a ${displaystyle x_ {A} (t)}$ nemusí znít stejně. Ale jejich vzorky (odebrány rychlostí F_s) jsou identické a vedly by ke stejným reprodukovaným zvukům; tím pádem X_A(t) je alias X(t) při této vzorkovací frekvenci.

což je periodická funkce a její ekvivalentní vyjádření jako a Fourierova řada, jehož koeficienty jsou ${displaystyle Tcdot x (nT).}$ Tato funkce je také známá jako diskrétní Fourierova transformace (DTFT) sekvence vzorku.

Jak je znázorněno, kopie ${displaystyle X (f)}$ jsou posunuty o násobky ${displaystyle f_ {s}}$ a kombinovat sčítáním. Pro funkci omezenou pásmem${displaystyle (X (f) = 0, {ext {pro všechny}} | f | geq B)}$ a dostatečně velký ${displaystyle f_ {s},}$ je možné, aby kopie zůstaly navzájem odlišné. Pokud ale Nyquistovo kritérium není splněno, sousední kopie se překrývají a obecně není možné rozeznat jednoznačné ${displaystyle X (f).}$ Libovolná frekvenční složka výše ${displaystyle f_ {s} / 2}$ je nerozeznatelný od nízkofrekvenční složky zvané an alias, spojené s jednou z kopií. V takových případech obvyklé interpolační techniky produkují alias, nikoli původní komponentu. Když je vzorkovací frekvence předem určena jinými úvahami (například průmyslovým standardem), ${displaystyle x (t)}$ je obvykle filtrován, aby před vzorkováním snížil své vysoké frekvence na přijatelnou úroveň. Požadovaný typ filtru je a dolní propust a v této aplikaci se nazývá vyhlazovací filtr.

Spektrum, X_s(F), správně vzorkovaného signálu s omezeným pásmem (modrá) a sousedních snímků DTFT (zelená), které se nepřekrývají. A cihlová zeď dolní propust, H(F), odstraní obrázky, ponechá původní spektrum, X(F) a obnoví původní signál ze svých vzorků.

Obrázek vlevo ukazuje funkci (v šedé / černé), která je vzorkována a rekonstruována (ve zlatě) při stabilně rostoucí hustotě vzorku, zatímco obrázek vpravo ukazuje frekvenční spektrum funkce šedá / černá, která se nemění . Nejvyšší frekvence ve spektru je ½ šířky celého spektra. Šířka neustále narůstajícího růžového stínování se rovná vzorkovací frekvenci. Pokud zahrnuje celé frekvenční spektrum, je dvakrát větší než nejvyšší frekvence, a to je okamžik, kdy se rekonstruovaný tvar vlny shoduje se vzorkovaným.

Odvození jako speciální případ Poissonova součtu

Pokud nedochází k překrývání kopií (označovaných také jako „obrázky“) ${displaystyle X (f)}$, ${displaystyle k = 0}$ termín Rovnice 1 lze produktem obnovit:

${displaystyle X (f) = H (f) cdot X_ {s} (f),}$ kde:

${displaystyle H (f) riangleq {egin {cases} 1 & | f |$ f_ {s} -B.end {cases}}}

Věta o vzorkování je od té doby prokázána ${displaystyle X (f)}$ jednoznačně určuje ${displaystyle x (t).}$

Zbývá jen odvodit vzorec pro rekonstrukci. ${displaystyle H (f)}$ nemusí být přesně definovány v regionu ${displaystyle [B, f_ {s} -B]}$ protože ${displaystyle X_ {s} (f)}$ je v této oblasti nula. Nejhorší však je, když ${displaystyle B = f_ {s} / 2,}$ Nyquistova frekvence. Funkce, která k tomu postačuje, a všechny méně závažné případy jsou:

${displaystyle H (f) = mathrm {rect} left ({frac {f} {f_ {s}}} ight) = {egin {cases} 1 & | f | <{frac {f_ {s}} {2}} 0 & | f |> {frac {f_ {s}} {2}}, konec {případů}}}$

kde rect (•) je obdélníková funkce. Proto:

${displaystyle X (f) = mathrm {rect} left ({frac {f} {f_ {s}}} ight) cdot X_ {s} (f)}$

${displaystyle = mathrm {rect} (Tf) cdot součet _ {n = -infty} ^ {infty} Tcdot x (nT) e ^ {- i2pi nTf}}$ (zRovnice 1, výše).

${displaystyle = sum _ {n = -infty} ^ {infty} x (nT) cdot underbrace {Tcdot mathrm {rect} (Tf) cdot e ^ {- i2pi nTf}} _ {{mathcal {F}} vlevo {mathrm {sinc} vlevo ({frac {t-nT} {T}} hned) hned}}.}$     ^[A]

Inverzní transformace obou stran vytváří Whittaker-Shannonův interpolační vzorec:

který ukazuje, jak vzorky, ${displaystyle x (nT),}$ lze kombinovat k rekonstrukci ${displaystyle x (t).}$

• Větší než nutné hodnoty F_s (menší hodnoty T), volala převzorkování, nemají žádný vliv na výsledek rekonstrukce a mají výhodu ponechání prostoru pro a přechodové pásmo ve kterém H(F) může brát střední hodnoty. Podvzorkování, který způsobuje aliasing, není obecně reverzibilní operace.
• Teoreticky lze interpolační vzorec implementovat jako a dolní propust, jehož impulzní odezva je upřímná (t/T) a jehož vstup je ${displaystyle extstyle součet _ {n = -infty} ^ {infty} x (nT) cdot delta (t-nT),}$ což je Dirac hřeben funkce modulovaná vzorky signálu. Praktický digitálně-analogové převaděče (DAC) implementovat aproximaci jako zadržení nulového řádu. V takovém případě může převzorkování snížit chybu aproximace.

Shannonův původní důkaz

Poisson ukazuje, že Fourierova řada v Rovnice 1 vytváří periodický součet ${displaystyle X (f)}$, bez ohledu na ${displaystyle f_ {s}}$ a ${displaystyle B}$. Shannon však odvozuje pouze koeficienty řady pro případ ${displaystyle f_ {s} = 2B}$. Prakticky cituji Shannonův původní dokument:

Nechat ${displaystyle X (omega)}$ být spektrem ${displaystyle x (t).}$ Pak

${displaystyle x (t) = {1 over 2pi} int _ {- infty} ^ {infty} X (omega) e ^ {iomega t}; {m {d}} omega = {1 over 2pi} int _ {- 2pi B} ^ {2pi B} X (omega) e ^ {iomega t}; {m {d}} omega,}$

protože ${displaystyle X (omega)}$ mimo pásmo se předpokládá nula ${displaystyle left | {frac {omega} {2pi}} vpravo |$ Pokud to necháme ${displaystyle t = {frac {n} {2B}},}$ kde ${displaystyle n}$ je jakékoli kladné nebo záporné celé číslo, získáme:

${displaystyle xleft ({frac {n} {2B}} ight) = {1 nad 2pi} int _ {- 2pi B} ^ {2pi B} X (omega) e ^ {iomega {n nad {2B}}}; {m {d}} omega.}$

(Rovnice 2)

Vlevo jsou hodnoty ${displaystyle x (t)}$ v místech odběru vzorků. Integrál vpravo bude rozpoznán jako zásadně^[A] the n^th koeficient ve Fourierově řadě rozšíření funkce ${displaystyle X (omega),}$ přičemž interval ${displaystyle -B}$ na ${displaystyle B}$ jako základní období. To znamená, že hodnoty vzorků ${displaystyle x (n / 2B)}$ určit Fourierovy koeficienty v sériové expanzi ${displaystyle X (omega).}$ Tak určují ${displaystyle X (omega),}$ od té doby ${displaystyle X (omega)}$ je nula pro frekvence větší než Ba pro nižší frekvence ${displaystyle X (omega)}$ je určeno, pokud jsou určeny jeho Fourierovy koeficienty. Ale ${displaystyle X (omega)}$ určuje původní funkci ${displaystyle x (t)}$ úplně, protože funkce je určena, pokud je známo její spektrum. Funkci proto určují původní vzorky ${displaystyle x (t)}$ zcela.

Shannonův důkaz věty je v tomto bodě úplný, ale pokračuje v diskusi o rekonstrukci funkce sinc, co nyní nazýváme Whittaker-Shannonův interpolační vzorec jak bylo diskutováno výše. Nevyvozuje ani neprokazuje vlastnosti funkce sinc, ale ty by byly^{[lasičková slova ]} známý technikům, kteří v té době četli jeho díla, protože vztah Fourierových párů mezi přímý (funkce obdélníkového tvaru) a sinc byly dobře známy.

Nechat ${displaystyle x_ {n}}$ být n^th vzorek. Pak funkce ${displaystyle x (t)}$ je reprezentován:

${displaystyle x (t) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} x_ {n} {sin pi (2Bt-n) nad pi (2Bt-n)}.}$

Stejně jako v dalším důkazu se předpokládá existence Fourierovy transformace původního signálu, takže důkaz neříká, zda se vzorkovací věta vztahuje i na stacionární náhodné procesy s omezeným pásmem.

Poznámky

Aplikace na více proměnné signály a obrazy

Podvzorkovaný obrázek zobrazující a Moiré vzor

Správně vzorkovaný obrázek

Věta o vzorkování je obvykle formulována pro funkce jedné proměnné. V důsledku toho je věta přímo použitelná na časově závislé signály a je obvykle formulována v tomto kontextu. Věta o vzorkování však může být přímo rozšířena na funkce libovolně mnoha proměnných. Například obrázky ve stupních šedi jsou často reprezentovány jako dvourozměrná pole (nebo matice) reálných čísel představující relativní intenzity pixelů (obrazové prvky) umístěné na křižovatkách umístění vzorků řádků a sloupců. Výsledkem je, že obrázky vyžadují dvě nezávislé proměnné nebo indexy, aby bylo možné specifikovat každý pixel jedinečně - jednu pro řádek a jednu pro sloupec.

Barevné obrázky se obvykle skládají ze tří samostatných obrázků ve stupních šedi, přičemž jeden představuje každou ze tří základních barev - červenou, zelenou a modrou nebo RGB v krátkosti. Mezi další barevné prostory využívající 3 vektory pro barvy patří HSV, CIELAB, XYZ atd. Některé barevné prostory, jako jsou azurová, purpurová, žlutá a černá (CMYK), mohou představovat barvu ve čtyřech rozměrech. Se všemi se zachází jako s funkce s vektorovou hodnotou přes dvourozměrnou vzorkovanou doménu.

Podobně jako u jednorozměrných diskrétních signálů mohou obrazy také trpět aliasingem, pokud je rozlišení vzorkování nebo hustota pixelů nedostatečné. Například digitální fotografie pruhované košile s vysokými frekvencemi (jinými slovy, vzdálenost mezi pruhy je malá), může způsobit aliasing košile, když je vzorkována kamerou obrazový snímač. Aliasing se zobrazí jako moaré vzor. „Řešením“ pro vyšší vzorkování v prostorové doméně by v tomto případě bylo přiblížit se k tričku, použít snímač s vyšším rozlišením nebo opticky rozmazat obraz před jeho získáním pomocí snímače pomocí optický dolní propust.

Další příklad je ukázán vpravo ve vzorech cihel. Horní obrázek ukazuje efekty, když není splněna podmínka věty o vzorkování. Když software změní měřítko obrázku (stejný proces, který vytvoří miniaturu zobrazenou na dolním obrázku), ve skutečnosti provede obrázek přes dolní propust nejprve a potom převzorkování výsledkem je menší obrázek, který nevykazuje moaré vzor. Horní obrázek je to, co se stane, když je obrázek převzorkován bez filtrování dolní propustí: výsledky aliasingu.

Věta o vzorkování se vztahuje na kamerové systémy, kde scéna a objektiv tvoří zdroj analogového prostorového signálu a obrazový snímač je prostorové vzorkovací zařízení. Každá z těchto složek se vyznačuje a funkce modulačního přenosu (MTF), představující přesné rozlišení (prostorová šířka pásma) dostupné v dané komponentě. Účinky aliasingu nebo rozmazání mohou nastat, když se neodpovídají objektiv MTF a senzor MTF. Když optický obraz, který je vzorkován senzorovým zařízením, obsahuje vyšší prostorové frekvence než senzor, spodní vzorkování funguje jako dolní propust pro snížení nebo eliminaci aliasingu. Když oblast vzorkovacího místa (velikost pixelového snímače) není dostatečně velká, aby poskytovala dostatečné množství prostorové vyhlazení, může být do kamerového systému zahrnut samostatný filtr proti vyhlazení (optický dolní propust) pro snížení MTF optického obrazu. Místo toho, aby vyžadoval optický filtr, grafická jednotka z chytrý telefon kamery zpracování digitálních signálů odstranit aliasing pomocí digitálního filtru. Digitální filtry také používají ostření k zesílení kontrastu z objektivu při vysokých prostorových frekvencích, které by jinak při mezích difrakce rychle odpadávaly.

Věta o vzorkování se vztahuje také na digitální zpracování po zpracování, například vzorkování nahoru nebo dolů. Účinky aliasingu, rozmazání a doostření lze upravit pomocí digitálního filtrování implementovaného v softwaru, které nutně dodržuje teoretické principy.

Kritická frekvence

Pro ilustraci nutnosti ${displaystyle f_ {s}> 2B}$, zvažte skupinu sinusoidů generovaných různými hodnotami ${displaystyle heta}$ v tomto vzorci:

${displaystyle x (t) = {frac {cos (2pi Bt + heta)} {cos (heta)}} = cos (2pi Bt) -sin (2pi Bt) an (heta), quad -pi / 2$

Rodina sinusoidů na kritické frekvenci, všechny se stejnými vzorovými sekvencemi se střídáním +1 a –1. To znamená, že všichni jsou navzájem aliasy, i když jejich frekvence není vyšší než polovina vzorkovací frekvence.

S ${displaystyle f_ {s} = 2B}$ nebo ekvivalentně ${displaystyle T = 1 / 2B}$, vzorky jsou dány:

${displaystyle x (nT) = cos (pi n) -underbrace {sin (pi n)} _ {0} an (heta) = (- 1) ^ {n}}$

bez ohledu na hodnotu ${displaystyle heta}$. Tento druh nejednoznačnosti je důvodem přísný nerovnost podmínky vzorkovací věty.

Vzorkování signálů mimo základní pásmo

Jak diskutoval Shannon:^[2]

Podobný výsledek platí, pokud pásmo nezačíná na nulové frekvenci, ale na nějaké vyšší hodnotě, a lze jej prokázat lineárním překladem (fyzicky odpovídá modulace jedním postranním pásmem ) případu s nulovou frekvencí. V tomto případě je elementární puls získán z hříchu (X)/X modulací jedné strany pásma.

To znamená dostatečná podmínka bez ztráty pro odběr vzorků signály které nemají základní pásmo existují komponenty, které zahrnují šířka nenulového frekvenčního intervalu na rozdíl od jeho nejvyšší frekvenční složky. Vidět Vzorkování (zpracování signálu) pro více podrobností a příkladů.

Například za účelem vzorkování FM rádio signály ve frekvenčním rozsahu 100–102MHz, není nutné vzorkovat na 204 MHz (dvojnásobek horní frekvence), ale spíše stačí vzorkovat na 4 MHz (dvojnásobek šířky frekvenčního intervalu).

Podmínka bandpass je taková X(F) = 0, pro všechny nezáporné F mimo otevřené pásmo frekvencí:

${displaystyle left ({frac {N} {2}} f_ {mathrm {s}}, {frac {N + 1} {2}} f_ {mathrm {s}} ight),}$

pro nějaké nezáporné celé číslo N. Tato formulace zahrnuje normální stav základního pásma N=0.

Odpovídající interpolační funkce je impulzní odezva ideální cihlové zdi pásmový filtr (na rozdíl od ideálu cihlová zeď dolní propust použitý výše) s mezními hodnotami na horním a dolním okraji specifikovaného pásma, což je rozdíl mezi dvojicí impulsních odezev dolní propusti:

${displaystyle (N + 1), operatorname {sinc} vlevo ({frac {(N + 1) t} {T}} vpravo) -N, operatorname {sinc} vlevo ({frac {Nt} {T}} vpravo) .}$

Jsou možná i další zevšeobecnění, například na signály zabírající více nesouvislých pásem. Ani ta nejobecnější forma vzorkovací věty nemá prokazatelně pravdivou konverzaci. To znamená, že nelze dojít k závěru, že informace jsou nutně ztraceny jen proto, že nejsou splněny podmínky věty o výběru; z technického hlediska je však obecně bezpečné předpokládat, že pokud věta o odběru vzorků není uspokojena, informace budou s největší pravděpodobností ztraceny.

Nestejnoměrný odběr vzorků

Shannonovu teorii vzorkování lze zobecnit pro případ nejednotný odběr vzorků, tj. vzorky, které nebyly odebrány rovnoměrně v čase. Shannonova teorie vzorkování pro nejednotné vzorkování uvádí, že signál s omezeným pásmem lze ze svých vzorků dokonale rekonstruovat, pokud průměrná vzorkovací frekvence splňuje Nyquistovu podmínku.^[3] Proto i když rovnoměrně rozmístěné vzorky mohou mít za následek snazší algoritmy rekonstrukce, není to nezbytná podmínka pro dokonalou rekonstrukci.

Obecná teorie pro vzorky bez základního pásma a nejednotných vzorků byla vyvinuta v roce 1967 autorem Henry Landau.^[4] Dokázal, že průměrná vzorkovací frekvence (jednotná nebo jiná) musí být dvojnásobná obsazený šířka pásma signálu, za předpokladu, že je a priori Na konci 90. let byla tato práce částečně rozšířena, aby pokryla signály o tom, kdy byla známa velikost obsazené šířky pásma, ale skutečná obsazená část spektra nebyla známa.^[5] V roce 2000 byla vyvinuta úplná teorie (viz část Vzorkování pod Nyquistovou sazbou za dalších omezení níže) pomocí komprimované snímání. Teorie, využívající jazyk zpracování signálu, je popsána zejména v této práci z roku 2009.^[6] Ukazují mimo jiné, že pokud nejsou známa místa kmitočtů, je nutné odebrat vzorky alespoň na dvojnásobek Nyquistových kritérií; jinými slovy, musíte znát alespoň faktor 2 za to, že neznáte umístění spektrum. Pamatujte, že minimální požadavky na odběr vzorků nemusí nutně zaručit stabilita.

Vzorkování pod Nyquistovou sazbou za dalších omezení

Nyquist – Shannonova vzorkovací věta poskytuje a dostatečný stav pro vzorkování a rekonstrukci signálu omezeného na pásmo. Když se rekonstrukce provádí pomocí Whittaker-Shannonův interpolační vzorec, Nyquistovo kritérium je rovněž nezbytnou podmínkou, aby se zabránilo aliasingu v tom smyslu, že pokud jsou vzorky odebírány pomalejší rychlostí, než je dvojnásobek limitu pásma, pak existují signály, které nebudou správně rekonstruovány. Pokud jsou však na signál uvalena další omezení, pak Nyquistovo kritérium již nemusí být a nutná podmínka.

Netriviální příklad využití zvláštních předpokladů o signálu je dán nedávným polem komprimované snímání, což umožňuje úplnou rekonstrukci s sub-Nyquistovou vzorkovací frekvencí. Konkrétně to platí pro signály, které jsou v určité doméně řídké (nebo stlačitelné). Například komprimované snímání se zabývá signály, které mohou mít nízkou celkovou šířku pásma (řekněme efektivní šířka pásma EB), ale umístění kmitočtů je neznámé, spíše než všechny dohromady v jednom pásmu, takže technika passband neplatí. Jinými slovy, frekvenční spektrum je řídké. Potřebná vzorkovací frekvence je tedy tradičně 2B. Pomocí komprimovaných snímacích technik lze signál dokonale rekonstruovat, pokud je vzorkován rychlostí mírně nižší než 2EB. S tímto přístupem již rekonstrukce není dána vzorcem, ale řešením řešení a program lineární optimalizace.

Další příklad, kdy je sub-Nyquistovo vzorkování optimální, vzniká pod dalším omezením, že vzorky jsou kvantifikovány optimálním způsobem, jako v kombinovaném systému vzorkování a optimálního ztrátová komprese.^[7] Toto nastavení je relevantní v případech, kdy je společný účinek odběru vzorků a kvantování je třeba vzít v úvahu a může poskytnout dolní mez pro minimální chybu rekonstrukce, které lze dosáhnout při vzorkování a kvantování náhodný signál. U stacionárních Gaussových náhodných signálů je této dolní meze obvykle dosaženo při sub-Nyquistově vzorkovací frekvenci, což naznačuje, že sub-Nyquistovo vzorkování je pro tento signální model optimální za kvantování.^[8]

Historické pozadí

Věta o vzorkování byla implikována prací Harry Nyquist v roce 1928,^[9] ve kterém ukázal, že až 2B nezávislé pulzní vzorky mohly být posílány přes systém šířky pásma B; ale výslovně neuvažoval o problému vzorkování a rekonstrukce spojitých signálů. Přibližně ve stejnou dobu Karl Küpfmüller ukázal podobný výsledek^[10] a diskutovali impulsní odezvu funkce sinc funkce filtru omezujícího pásmo prostřednictvím jeho integrálu, krokovou odezvu sinusový integrál; tento filtr omezení a rekonstrukce pásma, který je tak důležitý pro vzorkovací teorém, se někdy označuje jako a Küpfmüllerův filtr (ale zřídka tak v angličtině).

Věta o vzorkování, v podstatě a dvojí Nyquistova výsledku bylo prokázáno Claude E. Shannon.^[2] V. A. Kotelnikov publikoval podobné výsledky v roce 1933,^[11] stejně jako matematikE. T. Whittaker v roce 1915,^[12] J. M. Whittaker v roce 1935,^[13] a Gabor v roce 1946 („Teorie komunikace“). V roce 1999 Nadace Eduarda Rheina udělil Kotelnikovovi cenu za základní výzkum „za první teoreticky přesnou formulaci věty o vzorkování“.

V roce 1948 a 1949 publikoval Claude E. Shannon - 16 let poté Vladimir Kotelnikov - dva revoluční články, ve kterých založil teorii informací.^[14][15][2] v Shannon 1948 vzorkovací věta je formulována jako „Theorem 13“: Let F(t) neobsahují žádné frekvence nad W. Pak

${displaystyle f (t) = součet _ {n = -infty} ^ {infty} X_ {n} {frac {sin pi (2Wt-n)} {pi (2Wt-n)}},}$ kde ${displaystyle X_ {n} = fleft ({frac {n} {2W}} ight)}$.

Teprve poté, co byly publikovány tyto články, se věta známá jako „Shannonova vzorkovací věta“ stala běžným vlastnictvím komunikačních techniků, i když sám Shannon píše, že toto je skutečnost, která je v komunikačním umění běžná.^[B] O několik řádků dále však dodává: „ale navzdory zjevnému významu [se] zdá, že se v literatuře teorie komunikace výslovně neobjevil“.

Ostatní objevitelé

Jiní, kteří nezávisle objevili nebo hráli roli ve vývoji vzorkovací věty, byli diskutováni v několika historických článcích, například Jerri^[16] a Lüke.^[17] Například Lüke zdůrazňuje, že H. Raabe, asistent Küpfmüllera, prokázal teorém ve svém Ph.D. disertační práce; termín Raabův stav začalo být spojováno s kritériem pro jednoznačné vyjádření (vzorkovací frekvence větší než dvojnásobek šířky pásma). Meijering^[18] zmiňuje několik dalších objevitelů a jmen v odstavci a pár poznámek pod čarou:

Jak zdůraznil Higgins [135], teorém o vzorkování by měl být skutečně zvážen ve dvou částech, jak je uvedeno výše: první uvádí skutečnost, že funkce omezeného pásma je zcela určena jeho vzorky, druhá popisuje, jak rekonstruovat funkci pomocí jejího Vzorky. Obě části vzorkovací věty podal poněkud odlišnou formou J. M. Whittaker [350, 351, 353] a před ním také Ogura [241, 242]. Pravděpodobně si nebyli vědomi skutečnosti, že první část věty byla uvedena již v roce 1897 Borelem [25].²⁷ Jak jsme viděli, Borel v té době také používal to, co se stalo známým jako hlavní série. Zdá se však, že odkaz neprovedl [135]. V pozdějších letech vyšlo najevo, že teorém o odběru vzorků před Shannonem předal ruské komunikační komunitě Kotel'nikov [173]. Ve více implicitní verbální formě to také popsal v německé literatuře Raabe [257]. Několik autorů [33, 205] uvedlo, že Someya [296] představil teorém v japonské literatuře souběžně s Shannonem. V anglické literatuře ji Weston [347] představil nezávisle na Shannonovi přibližně ve stejnou dobu.²⁸

²⁷ Několik autorů v návaznosti na Blacka [16] tvrdilo, že tuto první část věty o výběru vzorků uvedl již dříve Cauchy, v článku [41] publikovaném v roce 1841. Dokument Cauchyho však takové prohlášení neobsahuje, protože na to upozornil Higgins [135].

²⁸ V důsledku objevu několika nezávislých úvodů věty o odběru vzorků začali lidé tuto větu označovat zahrnutím jmen výše uvedených autorů, což vedlo k takovým frázím jako „vzorkování Whittaker – Kotel'nikov – Shannon (WKS) věta “[155] nebo dokonce„ Whittaker – Kotel'nikov – Raabe – Shannon – Someya věta o vzorkování “[33]. Aby nedošlo k záměně, je asi nejlepší udělat, když se na ni bude odkazovat jako na teorém o vzorkování,„ spíše než pokusit se najít titul, který by vyhovoval všem žadatelům “[136].

Proč Nyquist?

Přesně jak, kdy nebo proč Harry Nyquist jeho jméno připojené k vzorkovací větě zůstává nejasné. Termín Nyquistova věta o vzorkování (kapitalizováno takto) se objevil již v roce 1959 v knize od svého bývalého zaměstnavatele, Bell Labs,^[19] a objevil se znovu v roce 1963,^[20] a ne kapitalizováno v roce 1965.^[21] Říkalo se tomu Shannonova vzorkovací věta již v roce 1954,^[22] ale také jen věta o vzorkování na počátku 50. let několik dalších knih.

V roce 1958 uvedli Blackman a Tukey jako referenci článek Nyquistova z roku 1928 teorém vzorkování teorie informace,^[23] i když tento článek nezachází se vzorkováním a rekonstrukcí spojitých signálů jako ostatní. Jejich glosář pojmů zahrnuje tyto položky:

Věta o vzorkování (teorie informace)

Nyquistův výsledek, že rovnoměrně rozmístěná data se dvěma nebo více body na cyklus s nejvyšší frekvencí umožňuje rekonstrukci funkcí omezených na pásmo. (Vidět Kardinální věta.)

Kardinální věta (teorie interpolace)

Přesné vyjádření podmínek, za kterých lze hodnoty zadané na dvojnásobně nekonečné množině rovnoměrně rozmístěných bodů interpolovat, aby se pomocí funkce získala spojitá funkce omezená na pásmo

${displaystyle {frac {sin (x-x_ {i})} {x-x_ {i}}}.}$

Přesně to, o čem „Nyquistův výsledek“ hovoří, zůstává záhadné.

Když Shannon uvedl a prokázal teorém o odběru vzorků ve svém článku z roku 1949, podle Meijeringa,^[18] „zmínil se o kritickém intervalu vzorkování ${displaystyle T = {frac {1} {2W}}}$ jako Nyquistův interval odpovídající pásmu Ž, jako uznání Nyquistova objevu zásadního významu tohoto intervalu v souvislosti s telegrafií. “To vysvětluje Nyquistovo jméno na kritickém intervalu, ale ne na teorému.

Podobně bylo připojeno Nyquistovo jméno Nyquistova sazba v roce 1953 Harold S. Black:

"Pokud je základní frekvenční rozsah omezen na B cyklů za sekundu, 2B byl dán Nyquistem jako maximální počet kódových prvků za sekundu, které lze jednoznačně vyřešit, za předpokladu, že špičková interference je menší než polovina kvantového kroku. Tato sazba se obecně označuje jako signalizace Nyquistovou rychlostí a ${displaystyle {frac {1} {2B}}}$ byl nazván a Nyquistův interval."^[24] (zvýrazněno tučně; kurzíva jako v originálu)

Podle OED, to může být původ pojmu Nyquistova sazba. V Blackově použití to není vzorkovací frekvence, ale rychlost signalizace.

Viz také

• 44 100 Hz, obvyklá rychlost použitá k vzorkování slyšitelných frekvencí je založena na limitech lidského sluchu a vzorkovací větě
• Balian – nízká věta, obdobná teoretická dolní mez vzorkovací frekvence, ale která platí pro časově-frekvenční transformace
• Cheung – Marksova věta, který specifikuje podmínky, kdy může být obnovení signálu vzorkovací teorémem špatně položeno
• Hartleyho zákon
• Nyquistovo kritérium ISI
• Rekonstrukce z přechodu nulou
• Zadržení nulové objednávky

Poznámky

Reference

Další čtení

• Higgins, J.R.: Five short stories about the cardinal series, Bulletin of the AMS 12(1985)
• Küpfmüller, Karl, "Utjämningsförlopp inom Telegraf- och Telefontekniken", ("Transients in telegraph and telephone engineering"), Teknisk Tidskrift, Ne. 9 pp. 153–160 and 10 pp. 178–182, 1931. [1] [2]
• Marks, R.J.(II): Introduction to Shannon Sampling and Interpolation Theory, Springer-Verlag, 1991.
• Marks, R.J.(II), Editor: Advanced Topics in Shannon Sampling and Interpolation Theory, Springer-Verlag, 1993.
• Marks, R.J.(II), Handbook of Fourier Analysis and Its Applications, Oxford University Press, (2009), Chapters 5–8. Knihy Google
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 13.11. Numerical Use of the Sampling Theorem", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Unser, Michael: Sampling-50 Years after Shannon, Proc. IEEE, vol. 88, no. 4, pp. 569–587, April 2000

externí odkazy

• Learning by Simulations Interactive simulation of the effects of inadequate sampling
• Interactive presentation of the sampling and reconstruction in a web-demo Institute of Telecommunications, University of Stuttgart
• Undersampling and an application of it
• Sampling Theory For Digital Audio
• Journal devoted to Sampling Theory
• Sampling Theorem with Constant Amplitude Variable Width Pulse
• Lüke, Hans Dieter (April 1999). "The Origins of the Sampling Theorem" (PDF). IEEE Communications Magazine. 37 (4): 106–108. CiteSeerX  10.1.1.163.2887. doi:10.1109/35.755459.