Cheung – Marksova věta - Cheung–Marks theorem - Wikipedia

v teorie informace, Cheung – Marksova věta,[1] pojmenované po K. F. Cheungovi a Robert J. Marks II, specifikuje podmínky[2] kde obnova a signál podle věta o vzorkování může se stát špatně pózoval. Nabízí podmínky, kdy „chyba při rekonstrukci bez omezení rozptyl [výsledky], když je do vzorků přidán omezený rozptylový šum. "[3]

Pozadí

V teorému o vzorkování je nejistota interpolace měřená rozptylem šumu stejná jako nejistota dat vzorku, když je šum i.i.d.[4] Ve svém klasickém založení papíru z roku 1948 teorie informace, Claude Shannon nabídl následující zobecnění vzorkovací věty:[5]

2TW čísla použitá k určení funkce nemusí být stejně rozmístěné vzorky použité výše. Například vzorky mohou být rozmístěny nerovnoměrně, i když, pokud je zde značný shluk, musí být vzorky známy velmi přesně, aby byla zajištěna dobrá rekonstrukce funkce. Proces rekonstrukce je také více spojen s nerovným rozestupem. Lze dále ukázat, že hodnota funkce a její derivace v každém dalším vzorkovacím bodě jsou dostatečné. Hodnota a první a druhá derivace v každém třetím vzorkovacím bodě poskytují stále jinou sadu parametrů, které jednoznačně určují funkci. Obecně řečeno, jakákoli sada 2TW k jejímu popisu lze použít nezávislá čísla spojená s funkcí.

Ačkoli to platí za nepřítomnosti šumu, stane se mnoho expanzí navrhovaných Shannonem špatně pózoval. Díky libovolně malému množství šumu na datech je obnovení nestabilní. Taková rozšíření vzorkování nejsou v praxi užitečná, protože šum vzorkování, jako např kvantovací šum, vylučuje stabilní interpolaci, a tedy jakékoli praktické použití.

Příklad

Shannonův návrh simultánního vzorkování signálu a jeho derivace při poloviční Nyquistově rychlosti vede k dobře vychované interpolaci.[6] Věta Cheung – Marks ukazuje protiintuitivně, že prokládání signálu a vzorků derivací činí problém obnovy špatně položeným.[1][2]

Věta také ukazuje zvýšení citlivosti s derivačním řádem.[7]

Věta

Obecně věta Cheung – Marks ukazuje, že vzorkovací věta je špatně položená, když oblast (integrální ) druhé mocniny velikosti interpolační funkce po celou dobu není konečný.[1][2]„Zatímco zobecněný koncept vzorkování je relativně přímočarý, rekonstrukce není vždy možná kvůli možným nestabilitám.“[8]

Reference

  1. ^ A b C J. L. Brown a S.D.Cabrera, „On well-posedness of the Papoulis Generalized Sampling Expansion,“ IEEE Transactions on Circuits and Systems, May 1991 Volume: 38, Issue 5, pp. 554–556
  2. ^ A b C K.F. Cheung a R. J. Marks II, „Ill-posed sampling theorems“, IEEE Transactions on Circuits and Systems, sv. CAS-32, str. 829–835 (1985).
  3. ^ D. Seidner, „Rozšíření vzorkování vektorů“, IEEE Transaction on Signal Processing. v. 48. č. 5. 2000. s. 1401–1416.
  4. ^ R.C. Bracewell, The Fourierova transformace a jeho aplikace, McGraw Hill (1968)
  5. ^ Claude E. Shannon, „Komunikace za přítomnosti šumu“, Proc. Institute of Radio Engineers, sv. 37, č. 1, s. 10–21, 1. ledna 1949. Dotisk jako klasický papír v: Proc. IEEE, Sv. 86, č. 2, (únor 1998)
  6. ^ Athanasios Papoulis, Analýza signálu, Společnosti McGraw-Hill (květen 1977)
  7. ^ Unser, M .; Zerubia, J. (1997). Msgstr "Obecné vzorkování: analýza stability a výkonu". Transakce IEEE při zpracování signálu. 45 (12): 2941–2950. doi:10.1109/78.650255.
  8. ^ M. Unser, „Sampling - 50 years after Shannon,“ Proceedings of the IEEE, Vol 88, Issue 4, pp. 569–587, duben 2000