Whittaker-Shannonův interpolační vzorec - Whittaker–Shannon interpolation formula - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Interpolační vzorec Whittaker – Shannon“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The Whittaker-Shannonův interpolační vzorec nebo interpolace sinc je metoda pro konstrukci a nepřetržitý čas pásmo omezeno funkce ze sledu reálných čísel. Vzorec pochází z děl E. Borel v roce 1898 a E. T. Whittaker v roce 1915, a byl citován z děl J. M. Whittaker v roce 1935 a při formulaci Nyquist – Shannonova věta o vzorkování podle Claude Shannon v roce 1949. To je také běžně nazýváno Shannonův interpolační vzorec a Whittakerův interpolační vzorec. E. T. Whittaker, který ji publikoval v roce 1915, ji nazval Kardinální série.

Definice

Obrázek vlevo ukazuje funkci (v šedé / černé), která je vzorkována a rekonstruována (ve zlatě) při stabilně rostoucí hustotě vzorku, zatímco obrázek vpravo ukazuje frekvenční spektrum funkce šedá / černá, která se nemění . Nejvyšší frekvence ve spektru je ½ šířky celého spektra. Šířka neustále narůstajícího růžového stínování se rovná vzorkovací frekvenci. Pokud zahrnuje celé frekvenční spektrum, je dvakrát větší než nejvyšší frekvence, a to je okamžik, kdy se rekonstruovaný tvar vlny shoduje se vzorkovaným.

Vzhledem k posloupnosti reálných čísel X[n], spojitá funkce

${ displaystyle x (t) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} x [n] , { rm {sinc}} left ({ frac {t-nT} {T} }že jo),}$

(kde "sinc" označuje normalizovaná funkce sinc ) má Fourierova transformace, X(F), jehož nenulové hodnoty jsou omezeny na oblast |F| ≤ 1/(2T). Když parametr T má jednotky sekund, bandlimit, 1/(2T), má jednotky cyklů / s (hertz ). Když X[n] sekvence představuje časové vzorky v intervalu T, spojité funkce, množství F_s = 1/T je známý jako vzorkovací frekvence, a F_s/ 2 je odpovídající Nyquistova frekvence. Pokud má vzorkovaná funkce omezení pásma, B, menší než Nyquistova frekvence, X(t) je dokonalá rekonstrukce původní funkce. (Vidět Věta o vzorkování.) Jinak se frekvenční složky nad Nyquistovou frekvencí „skládají“ do sub-Nyquistovy oblasti X(F), což má za následek zkreslení. (Vidět Aliasing.)

Ekvivalentní složení: konvoluce / dolní propust

Interpolační vzorec je odvozen z Nyquist – Shannonova věta o vzorkování článek, který poukazuje na to, že jej lze vyjádřit i jako konvoluce z nekonečný impulsní sled s funkce sinc:

${ displaystyle x (t) = left ( sum _ {n = - infty} ^ { infty} underbrace {T cdot x (nT)} _ {x [n]} cdot delta left (t-nT right) right) circledast left ({ frac {1} {T}} { rm {sinc}} left ({ frac {t} {T}} right) right ).}$

To odpovídá filtrování sledu impulsů ideálem (cihlová zeď) dolní propust se ziskem 1 (nebo 0 dB) v pásmu. Pokud je vzorkovací frekvence dostatečně vysoká, znamená to, že obraz základního pásma (původní signál před vzorkováním) je předán beze změny a ostatní obrazy jsou odstraněny filtrem cihlové zdi.

Konvergence

Interpolační vzorec vždy konverguje Absolutně a místně jednotně tak dlouho jak

${ displaystyle sum _ {n in mathbb {Z}, , n neq 0} left | { frac {x [n]} {n}} right | < infty.}$

Podle Hölderova nerovnost to je splněno, pokud sekvence ${ displaystyle scriptstyle (x [n]) _ {n v mathbb {Z}}}$ patří kterémukoli z ${ displaystyle scriptstyle ell ^ {p} ( mathbb {Z}, mathbb {C})}$ mezery s 1 ≤p <∞, to je

${ displaystyle sum _ {n in mathbb {Z}} vlevo | x [n] vpravo | ^ {p} < infty.}$

Tato podmínka je dostatečná, ale není nutná. Například součet obecně konverguje, pokud posloupnost vzorků pochází ze vzorkování téměř jakéhokoli stacionární proces, v takovém případě není ukázková sekvence čtvercová a není v žádném případě ${ displaystyle scriptstyle ell ^ {p} ( mathbb {Z}, mathbb {C})}$ prostor.

Stacionární náhodné procesy

Li X[n] je nekonečná sekvence vzorků vzorové funkce širokého smyslu stacionární proces, pak není členem žádného ${ displaystyle scriptstyle ell ^ {p}}$ nebo L^p prostor, s pravděpodobností 1; to znamená nekonečný součet vzorků získaných na sílu p nemá konečnou očekávanou hodnotu. Interpolační vzorec však konverguje s pravděpodobností 1. Konvergenci lze snadno ukázat výpočtem odchylek zkrácených členů součtu a ukázáním, že lze rozptyl libovolně zmenšit výběrem dostatečného počtu členů. Pokud je střední hodnota procesu nenulová, je třeba vzít v úvahu dvojice členů, které také ukazují, že očekávaná hodnota zkrácených členů konverguje k nule.

Protože náhodný proces nemá Fourierovu transformaci, musí se také lišit podmínka, za které součet konverguje k původní funkci. Stacionární náhodný proces má funkce autokorelace a tedy a spektrální hustota podle Věta Wiener – Khinchin. Vhodnou podmínkou pro konvergenci k funkci vzorku z procesu je to, že spektrální hustota procesu bude nulová při všech frekvencích rovných a vyšších než polovina vzorkovací frekvence.

Viz také

• Aliasing, Filtr vyhlazování, Prostorové vyhlazení
• Obdélníková funkce
• Vzorkování (zpracování signálu)
• Signál (elektronika)
• Funkce Sinc, Sinc filtr
• Lanczos převzorkování