Bochnersova věta - Bochners theorem - Wikipedia

v matematika, Bochnerova věta (pojmenováno pro Salomon Bochner ) charakterizuje Fourierova transformace kladné konečné Borelův rozměr na skutečné linii. Obecněji v harmonická analýza, Bochnerova věta tvrdí, že pod Fourierovou transformací spojitá pozitivní-definitivní funkce na místně kompaktní abelianská skupina odpovídá konečné pozitivní míře na Dvojitá skupina Pontryagin.

Věta pro lokálně kompaktní abelianské skupiny

Bochnerova věta pro lokálně kompaktní abelianskou skupinu G, s dvojitou skupinou ${ displaystyle { widehat {G}}}$, říká následující:

Teorém Pro jakoukoli normalizovanou spojitou kladně určitou funkci F na G (normalizace zde znamená, že F je 1 na jednotce G), existuje jedinečný míra pravděpodobnosti μ na ${ displaystyle { widehat {G}}}$ takhle

${ displaystyle f (g) = int _ { widehat {G}} xi (g) , d mu ( xi),}$

tj. F je Fourierova transformace jedinečného míry pravděpodobnosti μ na ${ displaystyle { widehat {G}}}$. Naopak Fourierova transformace míry pravděpodobnosti zapnuta ${ displaystyle { widehat {G}}}$ je nutně normalizovaná spojitá kladně určitá funkce F na G. Toto je ve skutečnosti individuální korespondence.

The Gelfand – Fourierova transformace je izomorfismus mezi skupinou C * -algebra C*(G) a C.₀(G). Věta je v podstatě dvojí tvrzení pro státy dvou abelianských C * -algeber.

Důkaz věty prochází vektorovými stavy dále silně spojité unitární reprezentace z G (důkaz ve skutečnosti ukazuje, že každá normalizovaná spojitá kladně-určitá funkce musí mít tuto formu).

Vzhledem k normalizované kontinuální pozitivní a určité funkci F na G, lze sestrojit silně spojitou jednotnou reprezentaci G přirozeným způsobem: Nechť F₀(G) být rodinou komplexně oceněných funkcí G s konečnou podporou, tj. h(G) = 0 pro všechny, ale konečně mnoho G. Pozitivní jednoznačné jádro K.(G₁, G₂) = F(G₁ − G₂) indukuje (možná zdegeneruje) vnitřní produkt na F₀(G). Quotiening ven degenerace a po dokončení dává Hilbert prostor

${ displaystyle ({ mathcal {H}}, langle cdot, cdot rangle _ {f}),}$

jehož typickým prvkem je třída ekvivalence [h]. Pro pevné G v G„operátor směny " U_G definován (U_G)(h) (g ') = h(G' − G), pro zástupce [h], je jednotný. Takže mapa

${ displaystyle g mapsto U_ {g}}$

je jednotná reprezentace G na ${ displaystyle ({ mathcal {H}}, langle cdot, cdot rangle _ {f})}$. Kontinuitou F, je slabě spojitý, proto silně spojitý. Podle konstrukce máme

${ displaystyle langle U_ {g} [e], [e] rangle _ {f} = f (g),}$

kde [E] je třída funkce, která je 1 na identitu G a nula jinde. Ale Gelfand-Fourierovým izomorfismem, vektorovým stavem ${ displaystyle langle cdot [e], [e] rangle _ {f}}$ na C * (G) je zarazit státu ${ displaystyle C_ {0} ({ widehat {G}})}$, což je nutně integrace proti míře pravděpodobnosti μ. Pronásledování izomorfismy pak dává

${ displaystyle langle U_ {g} [e], [e] rangle _ {f} = int _ { widehat {G}} xi (g) , d mu ( xi).}$

Na druhou stranu, vzhledem k míře pravděpodobnosti μ na ${ displaystyle { widehat {G}}}$, funkce

${ displaystyle f (g) = int _ { widehat {G}} xi (g) , d mu ( xi)}$

je normalizovaná spojitá kladně určitá funkce. Kontinuita F vyplývá z dominující věta o konvergenci. Pro pozitivní definitivitu vezměte nedgenerativní zastoupení ${ displaystyle C_ {0} ({ widehat {G}})}$. To se vztahuje jedinečně na jeho reprezentaci multiplikační algebra ${ displaystyle C_ {b} ({ widehat {G}})}$ a proto silně spojitá jednotná reprezentace U_G. Jak je uvedeno výše, máme F daný nějakým vektorovým stavem na U_G

${ displaystyle f (g) = langle U_ {g} v, v rangle,}$

proto kladně definitivní.

Obě konstrukce jsou vzájemné inverze.

Speciální případy

Bochnerova věta ve zvláštním případě diskrétní skupina Z se často označuje jako Herglotz věta (viz Herglotzova věta o reprezentaci ) a říká, že funkce F na Z s F(0) = 1 je kladně definitivní právě tehdy, pokud existuje míra pravděpodobnosti μ na kruhu T takhle

${ displaystyle f (k) = int _ { mathbb {T}} e ^ {- 2 pi ikx} , d mu (x).}$

Podobně spojitá funkce F na R s F(0) = 1 je kladně definitivní právě tehdy, pokud existuje míra pravděpodobnosti μ na R takhle

${ displaystyle f (t) = int _ { mathbb {R}} e ^ {- 2 pi i xi t} , d mu ( xi).}$

Aplikace

v statistika, Bochnerova věta může být použita k popisu sériová korelace určitého typu časové řady. Posloupnost náhodných proměnných ${ displaystyle {f_ {n} }}$ znamená 0 ​​je (širokoúhlý) stacionární časová řada pokud kovariance

${ displaystyle operatorname {Cov} (f_ {n}, f_ {m})}$

záleží jen na n − m. Funkce

${ displaystyle g (n-m) = operatorname {Cov} (f_ {n}, f_ {m})}$

se nazývá funkce autocovariance časové řady. Z průměrného nulového předpokladu

${ displaystyle g (n-m) = langle f_ {n}, f_ {m} rangle,}$

kde ⟨⋅, ⋅⟩ označuje vnitřní produkt na Hilbertův prostor náhodných proměnných s konečnými sekundovými momenty. To je pak okamžité G je kladná a konečná funkce na celá čísla ℤ. Podle Bochnerovy věty existuje jedinečná pozitivní míra μ na [0, 1] takové, že

${ displaystyle g (k) = int e ^ {- 2 pi ikx} , d mu (x).}$

Toto opatření μ se nazývá spektrální míra časové řady. Poskytuje informace o „sezónních trendech“ série.

Například nechte z být m-tý kořen jednoty (se současnou identifikací je to 1 /m ∈ [0, 1]) a F být náhodná proměnná se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Vezměme si časovou řadu ${ displaystyle {z ^ {n} f }}$. Funkce autocovariance je

${ displaystyle g (k) = z ^ {k}.}$

Zřejmě odpovídající spektrální míra je Diracova bodová hmotnost se středem na z. To souvisí se skutečností, že se časová řada opakuje každý m období.

Když G má dostatečně rychlý rozpad, míra μ je absolutně kontinuální s ohledem na Lebesgueovo opatření a jeho Derivát Radon – Nikodym F se nazývá spektrální hustota časové řady. Když G leží v ℓ¹(ℤ), F je Fourierova transformace G.

Viz také

• Pozitivní a určitá funkce ve skupině
• Charakteristická funkce (teorie pravděpodobnosti)

Reference

• Loomis, L. H. (1953), Úvod do abstraktní harmonické analýzy, Van Nostrand
• M. Reed a Barry Simon, Metody moderní matematické fyziky, sv. II, Academic Press, 1975.
• Rudin, W. (1990), Fourierova analýza skupin, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-52364-X