Pokročilá z-transformace - Advanced z-transform

v matematika a zpracování signálu, pokročilá z-transformace je rozšířením z-transformace, začlenit ideální zpoždění, která nejsou násobkem doba vzorkování. Má formu

${ displaystyle F (z, m) = součet _ {k = 0} ^ { infty} f (kT + m) z ^ {- k}}$

kde

• T je období vzorkování
• m („parametr zpoždění“) je zlomek doby vzorkování ${ displaystyle [0, T].}$

To je také známé jako upravená z-transformace.

Pokročilá z-transformace je široce používána, například k přesnému modelování zpoždění zpracování digitální ovládání.

Vlastnosti

Pokud je parametr zpoždění, m, je považována za pevnou, pak všechny vlastnosti z-transformace platí pro pokročilou z-transformaci.

Linearita

${ displaystyle { mathcal {Z}} vlevo { součet _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} f_ {k} (t) pravý } = součet _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} F_ {k} (z, m).}$

Časový posun

${ displaystyle { mathcal {Z}} doleva {u (t-nT) f (t-nT) doprava } = z ^ {- n} F (z, m).}$

Tlumení

${ displaystyle { mathcal {Z}} vlevo {f (t) e ^ {- a , t} vpravo } = e ^ {- a , m} F (e ^ {a , T } z, m).}$

Násobení času

${ displaystyle { mathcal {Z}} vlevo {t ^ {y} f (t) vpravo } = doleva (-Tz { frac {d} {dz}} + m vpravo) ^ { y} F (z, m).}$

Věta o konečné hodnotě

${ displaystyle lim _ {k to infty} f (kT + m) = lim _ {z až 1} (1-z ^ {- 1}) F (z, m).}$

Příklad

Zvažte následující příklad, kde ${ displaystyle f (t) = cos ( omega t)}$:

${ displaystyle { začátek {zarovnáno} F (z, m) & = { mathcal {Z}} vlevo { cos vlevo ( omega vlevo (kT + m vpravo) vpravo) vpravo } & = { mathcal {Z}} vlevo { cos ( omega kT) cos ( omega m) - sin ( omega kT) sin ( omega m) doprava } & = cos ( omega m) { mathcal {Z}} vlevo { cos ( omega kT) vpravo } - sin ( omega m) { mathcal {Z}} vlevo { sin ( omega kT) right } & = cos ( omega m) { frac {z left (z- cos ( omega T) right)} {z ^ {2} -2z cos ( omega T) +1}} - sin ( omega m) { frac {z sin ( omega T)} {z ^ {2} -2z cos ( omega T) + 1}} & = { frac {z ^ {2} cos ( omega m) -z cos ( omega (Tm))} {z ^ {2} -2z cos ( omega T) +1}}. End {zarovnáno}}}$

Li ${ displaystyle m = 0}$ pak ${ displaystyle F (z, m)}$ redukuje na transformaci

${ displaystyle F (z, 0) = { frac {z ^ {2} -z cos ( omega T)} {z ^ {2} -2z cos ( omega T) +1}},}$

což je zjevně jen z- transformace ${ displaystyle f (t)}$.

Reference

• Porota Eliahu Ibraham, Teorie a aplikace metody z-transformace, Krieger Pub Co., 1973. ISBN  0-88275-122-0.