Nestejnoměrný odběr vzorků - Nonuniform sampling - Wikipedia

Nestejnoměrný odběr vzorků je obor teorie vzorkování zahrnující výsledky související s Nyquist – Shannonova věta o vzorkování. Neuniformní vzorkování je založeno na Lagrangeova interpolace a vztah mezi sebou a (jednotnou) vzorkovací větou. Neuniformní vzorkování je zobecněním Whittaker-Shannon-Kotelnikovovy (WSK) vzorkovací věty.

Shannonovu teorii vzorkování lze zobecnit pro případ nejednotných vzorků, tj. Vzorků, které nebyly odebrány rovnoměrně v čase. Shannonova teorie vzorkování pro nejednotné vzorkování uvádí, že signál s omezeným pásmem lze ze svých vzorků dokonale rekonstruovat, pokud průměrná vzorkovací frekvence splňuje Nyquistovu podmínku.^[1] Proto i když rovnoměrně rozmístěné vzorky mohou mít za následek snazší algoritmy rekonstrukce, není to nezbytná podmínka pro dokonalou rekonstrukci.

Obecná teorie pro vzorky bez základního pásma a nejednotných vzorků byla vyvinuta v roce 1967 autorem Henry Landau.^[2] Dokázal, že průměrná vzorkovací frekvence (jednotná nebo jiná) musí být dvojnásobná obsazený šířka pásma signálu, za předpokladu, že je a priori Na konci 90. let byla tato práce částečně rozšířena tak, aby zahrnovala signály, pro které byla známa velikost obsazené šířky pásma, ale skutečná obsazená část spektra nebyla známa.^[3] V roce 2000 byla vyvinuta úplná teorie (viz část Za Nyquistem níže) pomocí komprimované snímání. Teorie, využívající jazyk zpracování signálu, je popsána zejména v této práci z roku 2009.^[4] Ukazují mimo jiné, že pokud nejsou známa místa kmitočtů, je nutné odebrat vzorky alespoň na dvojnásobek Nyquistových kritérií; jinými slovy, musíte znát alespoň faktor 2 za to, že neznáte umístění spektrum. Pamatujte, že minimální požadavky na odběr vzorků nemusí nutně zaručit numerická stabilita.

Lagrangeova (polynomiální) interpolace

Pro danou funkci je možné sestrojit polynom stupně n který má stejnou hodnotu s funkcí at n + 1 bod.^[5]

Nech n + 1 bod k dosažení ${ displaystyle z_ {0}, z_ {1}, ldots, z_ {n}}$a n + 1 hodnot k ${ displaystyle w_ {0}, w_ {1}, ldots, w_ {n}}$.

Tímto způsobem existuje jedinečný polynom ${ displaystyle p_ {n} (z)}$ takhle

${ displaystyle p_ {n} (z_ {i}) = w_ {i}, { text {kde}} i = 0,1, ldots, n.}$^[6]

Dále je možné zjednodušit reprezentaci ${ displaystyle p_ {n} (z)}$ za použití interpolační polynomy Lagrangeovy interpolace:

${ displaystyle I_ {k} (z) = { frac {(z-z_ {0}) (z-z_ {1}) cdots (z-z_ {k-1}) (z-z_ {k + 1}) cdots (z-z_ {n})} {(z_ {k} -z_ {0}) (z_ {k} -z_ {1}) cdots (z_ {k} -z_ {k-1 }) (z_ {k} -z_ {k + 1}) cdots (z_ {k} -z_ {n})}}}$^[7]

Z výše uvedené rovnice:

${ displaystyle I_ {k} (z_ {j}) = delta _ {k, j} = { začátek {případů} 0, & { text {if}} k neq j 1, & { text {if}} k = j end {cases}}}$

Jako výsledek,

${ displaystyle p_ {n} (z) = součet _ {k = 0} ^ {n} w_ {k} I_ {k} (z)}$

${ displaystyle p_ {n} (z_ {j}) = w_ {j}, j = 0,1, ldots, n}$

Aby byla polynomiální forma užitečnější:

${ displaystyle G_ {n} (z) = (z-z_ {0}) (z-z_ {1}) cdots (z-z_ {n})}$

Tímto způsobem Lagrangeův interpolační vzorec objeví se:

${ displaystyle p_ {n} (z) = součet _ {k = 0} ^ {n} w_ {k} { frac {G_ {n} (z)} {(z-z_ {k}) G ' _ {n} (z_ {k})}}}$^[8]

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle f (z_ {j}) = p_ {n} (z_ {j}), j = 0,1, ldots, n,}$, pak se výše uvedený vzorec stane:

${ displaystyle f (z) = součet _ {k = 0} ^ {n} f (z_ {k}) { frac {G_ {n} (z)} {(z-z_ {k}) G ' _ {n} (z_ {k})}}}$

Whittaker – Shannon – Kotelnikov (WSK) vzorkovací věta

Whittaker se pokusil rozšířit Lagrangeovu interpolaci z polynomů na celé funkce. Ukázal, že je možné postavit celou funkci^[9]

${ displaystyle C_ {f} (z) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} f (a + nW) { frac { sin [ pi (za-nW) / W]} {[ pi (za-nW) / W]}}}$

který má stejnou hodnotu s ${ displaystyle f (z)}$ v bodech ${ displaystyle z_ {n} = a + nW}$

Navíc, ${ displaystyle C_ {f} (z)}$ lze napsat podobnou formou jako poslední rovnice v předchozí části:

${ displaystyle C_ {f} (z) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} f (z_ {n}) { frac {G (z)} {G '(z_ {n} ) (z-z_ {n})}}, { text {kde}} G (z) = sin [ pi (z-z_ {n}) / W] { text {a}} z_ {n } = a + nW}$

Když A = 0 a Ž = 1, pak se výše uvedená rovnice stane téměř stejnou jako věta WSK:^[10]

Pokud lze funkci f reprezentovat ve tvaru

${ displaystyle f (t) = int _ {- sigma} ^ { sigma} e ^ {jxt} g (x) , dx qquad (t in mathbb {R}), qquad forall g v L ^ {2} (- sigma, sigma),}$

pak F lze rekonstruovat ze svých vzorků takto:

${ displaystyle f (t) = součet _ {k = - infty} ^ { infty} f left ({ frac {k pi} { sigma}} right) { frac { sin ( sigma tk pi)} { sigma tk pi}} qquad (t in mathbb {R})}$

Nestejnoměrný odběr vzorků

Pro sekvenci ${ displaystyle {t_ {k} } _ {k v mathbb {Z}}}$ uspokojující^[11]

${ displaystyle D = sup _ {k in mathbb {Z}} | t_ {k} -k | <{ frac {1} {4}},}$

pak

${ displaystyle f (t) = součet _ {k = - infty} ^ { infty} f (t_ {k}) { frac {G (t)} {G '(t_ {k}) (t -t_ {k})}}, qquad forall f in B _ { pi} ^ {2}, qquad (t in mathbb {R}),}$

${ displaystyle { text {where}} G (t) = (t-t_ {0}) prod _ {k = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {t} {t_ { k}}} vpravo) vlevo (1 - { frac {t} {t _ {- k}}} vpravo),}$ a ${ displaystyle B _ { sigma} ^ {2}.}$ je Bernsteinův prostor

${ displaystyle { text {and}} f (t)}$ je u kompaktních sad rovnoměrně konvergentní.^[12]

Výše uvedené se nazývá Paleyova – Wiener – Levinsonova věta, která zobecňuje WSK vzorkovací teorém z jednotných vzorků na nejednotné vzorky. Oba mohou z těchto vzorků rekonstruovat pásmově omezený signál.

Reference

• F. Marvasti, Nonuniform sampling: Theory and Practice. Plenum Publishers Co., 2001, s. 123–140.