Zadržení nulové objednávky - Zero-order hold

The zadržení nulového řádu (ZOH) je matematický model praktického rekonstrukce signálu provádí konvenční digitálně-analogový převodník (DAC). To znamená, že popisuje účinek převodu a signál diskrétního času do a signál nepřetržitého času podržením každé hodnoty vzorku pro jeden interval vzorkování. Má několik aplikací v elektrické komunikaci.

Model v časové doméně

Obrázek 1. Časově posunutá a časově měřítková přímá funkce použitá při analýze ZOH v časové oblasti.

Obrázek 2. Kouskově konstantní signál X_ZOH(t).

Obrázek 3. Modulovaný hřeben Dirac X_s(t).

Zadržení nulového řádu rekonstruuje následující průběh kontinuálního času ze vzorkovací sekvence X[n], za předpokladu jednoho vzorku za časový interval T:

${displaystyle x_ {mathrm {ZOH}} (t), = součet _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] cdot mathrm {rect} vlevo ({frac {tT / 2-nT} {T}} v noci)}$

kde ${displaystyle mathrm {rect} ()}$ je obdélníková funkce.

Funkce ${displaystyle mathrm {rect} vlevo ({frac {t-T / 2} {T}} vpravo)}$ je znázorněno na obrázku 1 a ${displaystyle x_ {mathrm {ZOH}} (t),}$ je po částech konstantní signál znázorněný na obrázku 2.

Model ve frekvenční doméně

Rovnici nahoře pro výstup ZOH lze také modelovat jako výstup a lineární časově invariantní filtr s impulsní odezvou rovnou přímé funkci a se vstupem jako posloupnost dirac impulsy škálováno na hodnoty vzorku. Filtr lze poté analyzovat ve frekvenční doméně pro srovnání s jinými metodami rekonstrukce, jako je Whittaker-Shannonův interpolační vzorec navrhl Nyquist – Shannonova věta o vzorkování, nebo jako zadržení prvního řádu nebo lineární interpolace mezi hodnotami vzorku.

V této metodě posloupnost Diracké impulsy, X_s(t), představující diskrétní vzorky, X[n], je dolní propust filtrována obnovit signál nepřetržitého času, X(t).

I když je to tak ne co DAC dělá ve skutečnosti, výstup DAC lze modelovat pomocí hypotetické posloupnosti diracských impulsů, X_s(t), na a lineární, časově invariantní filtr s takovými charakteristikami (které jsou u systému LTI plně popsány v impulsní odezva ), takže každý vstupní impuls má za následek správný konstantní puls na výstupu.

Začněte definováním signálu spojitého času z hodnot vzorku, jak je uvedeno výše, ale místo přímých funkcí použijte delta funkce:

${displaystyle {egin {aligned} x_ {s} (t) & = sum _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] cdot delta left ({frac {t-nT} {T}} v pořádku) & {} = Tsum _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] cdot delta (t-nT) .end {aligned}}}$

Škálování podle ${displaystyle T}$, který přirozeně vzniká časovým měřítkem funkce delta, má za následek, že střední hodnota X_s(t) se rovná střední hodnotě vzorků, takže potřebný dolní propust bude mít zisk DC 1. Někteří autoři používají toto měřítko,^[1] zatímco mnoho dalších vynechává časové měřítko a T, což má za následek model low-pass filtru s DC ziskem T, a proto závisí na jednotkách měření času.

Obrázek 4. Impulzní odezva zadržení nultého řádu h_ZOH(t). Je identická s přímou funkcí na obrázku 1, kromě toho, že nyní má měřítko, aby měla oblast 1, takže filtr bude mít DC zisk 1.

Zadržení nulového řádu je hypotetické filtr nebo Systém LTI který převádí sekvenci modulovaných Diracových impulsů X_s(t) na po částech konstantní signál (zobrazený na obrázku 2):

${displaystyle x_ {mathrm {ZOH}} (t), = součet _ {n = -infty} ^ {infty} x [n] cdot mathrm {rect} vlevo ({frac {t-nT} {T}} - { frac {1} {2}} ight)}$

což má za následek efektivní impulsní odezva (znázorněno na obrázku 4) z:

${displaystyle h_ {mathrm {ZOH}} (t), = {frac {1} {T}} mathrm {rect} vlevo ({frac {t} {T}} - {frac {1} {2}} vpravo) = {egin {cases} {frac {1} {T}} & {mbox {if}} 0leq t$

Efektivní frekvenční odezva je spojitá Fourierova transformace impulzní odezvy.

${displaystyle H_ {mathrm {ZOH}} (f), = {mathcal {F}} {h_ {mathrm {ZOH}} (t)}, = {frac {1-e ^ {- i2pi fT}} {i2pi fT }} = e ^ {- ipi fT} mathrm {sinc} (fT)}$

kde ${displaystyle mathrm {sinc} (x)}$ je (normalizovaný) funkce sinc ${displaystyle {frac {sin (pi x)} {pi x}}}$ běžně používané v digitálním zpracování signálu.

The Laplaceova transformace přenosová funkce ZOH se zjistí nahrazením s = i 2 π F:

${displaystyle H_ {mathrm {ZOH}} (s), = {mathcal {L}} {h_ {mathrm {ZOH}} (t)}, = {frac {1-e ^ {- sT}} {sT}} }$

Skutečnost, že praktické digitálně-analogové převaděče (DAC) nevysílají posloupnost dirac impulsy, X_s(t) (to, pokud by bylo ideálně filtrováno s nízkým průchodem, by mělo za následek jedinečný podkladový signál s omezeným pásmem před vzorkováním), ale místo toho vysílá sekvenci obdélníkových pulzů, X_ZOH(t) (a po částech konstantní funkce), znamená, že existuje inherentní účinek ZOH na efektivní frekvenční odezvu DAC, což vede k mírnému sjet zisku na vyšších frekvencích (ztráta 3,9224 dB na Nyquistova frekvence, což odpovídá zisku sinku (1/2) = 2 / π). Tento pokles je důsledkem držet vlastnost konvenčního DAC a je ne v důsledku vzorek a podržte který by mohl předcházet konvenčnímu analogově-digitální převodník (ADC).

Viz také

• Nyquist – Shannonova věta o vzorkování
• Pozastavení první objednávky
• Diskretizace lineárních stavových prostorových modelů (za předpokladu držení nulového řádu)

Reference