Zak transformace - Zak transform

v matematika, Zak transformace^[1][2] je určitá operace, která bere jako vstup funkci jedné proměnné a produkuje jako výstup funkci dvou proměnných. Výstupní funkce se nazývá Zakova transformace vstupní funkce. Transformace je definována jako nekonečná řada ve kterém je každý výraz produktem a dilatace a překlad podle celé číslo funkce a exponenciální funkce. V aplikacích Zak transformovat na zpracování signálu vstupní funkce představuje a signál a transformace bude smíšená čas –frekvence reprezentace signálu. Signál může být skutečná hodnota nebo komplexní, definované na spojité množině (například reálná čísla) nebo a diskrétní sada (například celá čísla nebo konečná podmnožina celých čísel). Zakova transformace je zobecněním diskrétní Fourierova transformace.^[1][2]

Zakovu transformaci objevilo několik lidí v různých oblastech a byla nazvána různými jmény. Říkalo se tomu „mapování Gel'fand“, protože I.M. Gel'fand představil ve své práci dne vlastní funkce expanze. Transformaci znovuobjevil nezávisle Joshua Zak v roce 1967, který ji nazval „k-q reprezentací“. Zdá se, že mezi odborníky v této oblasti existuje obecný souhlas nazvat ji Zakovou transformací, protože Zak byl první, kdo systematicky studoval tuto transformaci v obecnějším prostředí a uznal její užitečnost.^[1][2]

Zakova transformace v nepřetržitém čase: Definice

Při definování Zakovy transformace v nepřetržitém čase je vstupní funkce funkcí reálné proměnné. Tak ať F(t) být funkcí skutečné proměnné t. Kontinuální Zakova transformace F(t) je funkce dvou reálných proměnných, z nichž jedna je t. Druhá proměnná může být označena w. Kontinuální zak transformace byla definována různě.

Definice 1

Nechat A být kladnou konstantou. Zakova transformace F(t), označeno Z_A[F], je funkcí t a w definován^[1]

${ displaystyle Z_ {a} [f] (t, w) = { sqrt {a}} součet _ {k = - infty} ^ { infty} f (at + ak) e ^ {- 2 pi kwi}}$.

Definice 2

Zvláštní případ definice 1 získaný převzetím A = 1 se někdy bere jako definice Zakovy transformace.^[2] V tomto zvláštním případě je Zakova transformace F(t) je označen Z[F].

${ displaystyle Z [f] (t, w) = součet _ {k = - infty} ^ { infty} f (t + k) e ^ {- 2 pi kwi}}$.

Definice 3

Zápis Z[F] se používá k označení jiné formy Zakovy transformace. V této podobě je Zakova transformace F(t) je definován takto:

${ displaystyle Z [f] (t, nu) = součet _ {k = - infty} ^ { infty} f (t + k) e ^ {- k nu i}}$.

Definice 4

Nechat T být kladnou konstantou. Zakova transformace F(t), označeno Z_T[F], je funkcí t a w definován^[2]

${ displaystyle Z_ {T} [f] (t, w) = { sqrt {T}} součet _ {k = - infty} ^ { infty} f (t + kT) e ^ {- 2 pi kwTi}}$.

Tady t a w se předpokládá, že splňují podmínky 0 ≤ t ≤ T a 0 ≤ w ≤ 1/T.

Příklad

Zakova transformace funkce

${ displaystyle phi (t) = { begin {případů} 1, & 0 leq t <1 0, & { text {jinak}} end {případů}}}$

darováno

${ displaystyle Z [ phi] (t, w) = e ^ {- 2 pi lceil -t rceil wi}}$

kde ${ displaystyle lceil -t rceil}$ označuje nejmenší celé číslo ne menší než ${ displaystyle -t}$ (dále jen funkce stropu ).

Vlastnosti Zakovy transformace

V následujícím bude předpokládáno, že Zakova transformace je uvedena v definici 2.

1. Linearita

Nechat A a b být libovolná reálná nebo komplexní čísla. Pak

${ displaystyle Z [af + bg] (t, w) = aZ [f] (t, w) + bZ [g] (t, w)}$

2. Periodicita

${ displaystyle Z [f] (t, w + 1) = Z [f] (t, w)}$

3. Kvazi-periodicita

${ displaystyle Z [f] (t + 1, w) = e ^ {2 pi wi} Z [f] (t, w)}$

4. Konjugace

${ displaystyle Z [{ bar {f}}] (t, w) = { overline {Z [f]}} (t, -w)}$

5. Symetrie

Li F(t) je i tehdy ${ displaystyle Z [f] (t, w) = Z [f] (- t, -w)}$

Li F(t) je potom zvláštní ${ displaystyle Z [f] (t, w) = - Z [f] (- t, -w)}$

6. Konvoluce

Nechat ${ displaystyle star}$ označit konvoluce s ohledem na proměnnou t.

${ displaystyle Z [f hvězda g] (t, w) = Z [f] (t, w) hvězda Z [g] (t, w)}$

Inverzní vzorec

Vzhledem k Zak transformaci funkce lze funkci rekonstruovat pomocí následujícího vzorce:

${ displaystyle f (t) = int _ {0} ^ {1} Z [f] (t, w) , dw.}$

Diskrétní Zak transformace: Definice

Při definování diskrétní Zakovy transformace je vstupní funkce funkcí celočíselné proměnné. Tak ať F(n) být funkcí celočíselné proměnné n (n přičemž všechna kladná, nulová a záporná celá čísla jsou hodnoty). Diskrétní Zakova transformace F(n) je funkce dvou reálných proměnných, z nichž jedna je celočíselná proměnná n. Druhá proměnná je skutečná proměnná, kterou lze označit w. Diskrétní Zakova transformace byla také definována různě. Níže je však uvedena pouze jedna z definic.

Definice

Diskrétní Zakova transformace funkce F(n) kde n je celočíselná proměnná označená Z[F], je definován

${ displaystyle Z [f] (n, w) = součet _ {k = - infty} ^ { infty} f (n + k) e ^ {- 2 pi kwi}.}$

Inverzní vzorec

Vzhledem k diskrétní transformaci funkce F(n), funkci lze rekonstruovat pomocí následujícího vzorce:

${ displaystyle f (n) = int _ {0} ^ {1} Z [f] (n, w) , dw.}$

Aplikace

Zakova transformace byla úspěšně použita ve fyzice v teorii kvantového pole,^[3] v elektrotechnice v časově-frekvenčním vyjádření signálů a v digitálním přenosu dat. Zakova transformace má také aplikace v matematice. Například byl použit v problému reprezentace Gabor.

Reference