Iwasawa algebra - Iwasawa algebra - Wikipedia

V matematice je Iwasawa algebra Λ (G) a profinitní skupina G je variace skupinové vyzvánění z G s str-adic koeficienty, které převezmou topologii G v úvahu. Přesněji řečeno, Λ (G) je inverzní limit skupinových kruhů Z_str(G/H) tak jako H běží přes otevřeno normální podskupiny z G. Komutativní Iwasawa algebry byly představeny Iwasawa  (1959 ) ve své studii o Z_str rozšíření v Teorie Iwasawa a nekomutativní Iwasawa algebry kompaktní str-adické analytické skupiny byly představeny Lazard (1965).

Iwasawa algebra z str-adická celá čísla

Ve zvláštním případě, kdy profinitní skupina G je izomorfní s aditivní skupinou kruhu z str-adická celá čísla Z_str, algebra Iwasawa Λ (G) je izomorfní s prstencem formální mocenské řady Z_str[[T]] v jedné proměnné nad Z_str. Izomorfismus je dán identifikací 1 +T s topologickým generátorem G. Tento prsten je dvourozměrný kompletní Noetherian pravidelný místní kruh, a zejména a jedinečná faktorizační doména.

Vyplývá to z Weierstrassova věta o přípravě pro formální mocenské řady přes kompletní místní prsten jsou hlavní ideály tohoto prstenu následující:

• Výška 0: nulový ideál.
• Výška 1: ideální (str) a ideály generované neredukovatelnými významné polynomy (polynomy s vedoucím koeficientem 1 a všemi ostatními koeficienty dělitelnými str).
• Výška 2: maximální ideál (str,T).

Konečně generované moduly

The hodnost konečně vygenerovaného modulu je počet, kolikrát modul byl Z_str[[T]] se v něm vyskytuje. To je dobře definované a je aditivní pro krátké přesné sekvence konečně generovaných modulů. Hodnost konečně vygenerovaného modulu je nulová, právě když je modul torzním modulem, což se stane právě tehdy, pokud má podpora dimenzi maximálně 1.

Mnoho modulů přes tuto algebru, které se vyskytují v teorii Iwasawa, jsou konečně generované torzní moduly. Strukturu těchto modulů lze popsat následovně. Kvazi-izomorfismus modulů je homomorfismus, jehož jádro a jádro jsou konečné skupiny, jinými slovy moduly s podporou buď prázdného, ​​nebo základního ideálu výšky 2. Pro každý konečně generovaný torzní modul existuje kvazi-izomorfismus s konečným součtem modulů tvaru Z_str[[T]]/(Fⁿ) kde F je generátor prvočísla ideálu výšky 1. Navíc kolikrát jakýkoli modul Z_str[[T]]/(F) se vyskytuje v modulu je dobře definovaný a nezávislý na sérii skladeb. Torzní modul má proto a charakteristická výkonová řada, formální výkonová řada daná součinem výkonové řady Fⁿ, který je jednoznačně definován až do násobení jednotkou. Ideál generovaný charakteristickou výkonovou řadou se nazývá charakteristický ideál modulu Iwasawa. Obecněji se jakýkoli generátor charakteristického ideálu nazývá charakteristická výkonová řada.

The μ-invariantní konečně generovaného torzního modulu je počet, kolikrát modul byl Z_str[[T]]/(str) se v něm vyskytuje. Tento invariant je aditivní na krátké přesné sekvence konečně generovaných torzních modulů (ačkoli není aditivní na krátké přesné sekvence konečně generovaných modulů). Zmizí, právě když je konečně vygenerovaný torzní modul definitivně vygenerován jako modul nad podřetězcem Z_str. The λ-invariantní je součet stupňů rozlišujících polynomů, které se vyskytují. Jinými slovy, pokud je modul pseudoizomorfní

${ displaystyle bigoplus _ {i} mathbf {Z} _ {p} [! [T] !] / (p ^ { mu _ {i}}) oplus bigoplus _ {j} mathbf {Z} _ {p} [! [T] !] / (F_ {j} ^ {m_ {j}})}$

Kde F_j jsou rozlišující polynomy

${ displaystyle mu = součet _ {i} mu _ {i}}$

a

${ displaystyle lambda = součet _ {j} m_ {j} deg (f_ {j}).}$

Pokud jde o charakteristickou výkonovou řadu, μ-invariant je minimem (str-adic) ocenění koeficientů a λ-invariant je síla T kdy toto minimum nastane poprvé.

Pokud zmizí hodnost, μ-invariant a λ-invariant konečně generovaného modulu, je modul konečný (a naopak); jinými slovy její základní abelianská skupina je konečný abelian str-skupina. Jedná se o konečně generované moduly, jejichž podpora má rozměr nejvýše 0. Takové moduly jsou Artinian a mají dobře definovanou délku, která je konečná a aditivní na krátké přesné sekvence.

Iwasawova věta

Napište ν_n pro prvek 1 + γ + γ²+ ... + γ^strn–1 kde γ je topologický generátor Γ. Iwasawa (1959 ) ukázal, že pokud X je konečně generovaný torzní modul nad algebrou Iwasawa a X/ ν_nX má pořádek str^E_n pak

${ displaystyle e_ {n} = mu p ^ {n} + lambda n + c}$

pro n dostatečně velké, kde μ, λ a C záleží jen na X a ne na n. Původní argument Iwasawy byl ad hoc a Serre (1958) poukázal na to, že výsledek Iwasawy lze odvodit ze standardních výsledků o struktuře modulů přes integrálně uzavřené noetherovské prstence, jako je algebra Iwasawa.

To platí zejména v případě, kdy E_n je největší síla str dělení pořadí skupiny ideálních tříd cyklotomického pole generovaného kořeny jednoty řádu strⁿ⁺¹. The Věta Ferrero – Washington uvádí, že v tomto případě μ = 0.

Vyšší a nekomutativní Iwasawa algebry

Obecnější Iwasawa algebry mají podobu

${ displaystyle Lambda (G): = varprojlim _ {H} mathbf {Z} _ {p} [G / H]}$

kde G je kompaktní str- adic Lieova skupina. Výše uvedený případ odpovídá ${ displaystyle G = mathbf {Z} _ {p}}$. Klasifikace modulů nad ${ displaystyle Lambda (G)}$ v případě je možný až pseudoizomorfismus ${ displaystyle G = mathbf {Z} _ {p} ^ {n}.}$^[1]

Pro nekomutativní G, ${ displaystyle Lambda (G)}$-moduly jsou klasifikovány až do takzvaných pseudonull modulů.^[2]

Reference

• Ardakov, K .; Brown, K. A. (2006), „Ring-teoretické vlastnosti Iwasawa algeber: průzkum“, Documenta Mathematica: 7–33, arXiv:matematika / 0511345, Bibcode:Matematika 2005 ..... 11345A, ISSN  1431-0635, PAN  2290583
• Iwasawa, Kenkichi (1959), „O extensions-rozšíření algebraických číselných polí“, Bulletin of the American Mathematical Society, 65 (4): 183–226, doi:10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7, ISSN  0002-9904, PAN  0124316
• Lazard, Michel (1965), „Groupes analytiques p-adiques“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 26 (26): 389–603, ISSN  1618-1913, PAN  0209286
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), „Kapitola 5“, Kohomologie číselných políGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (1. vyd.), Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, PAN  1737196, Zbl  0948.11001
• Serre, Jean-Pierre (1958), „Classes des corps cyclotomiques (d'après K. Iwasawa) Exp.174“, Séminaire Bourbaki, sv. 5, Paříž: Société Mathématique de France, str. 83–93, PAN  1603459