Věta Ferrero – Washington - Ferrero–Washington theorem

v algebraická teorie čísel, Věta Ferrero – Washington, prokázáno jako první Ferrero a Washington (1979) a později Sinnott (1984), tvrdí, že Iwasawa je μ-invariantní mizí pro cyklotomiku Z_p- rozšíření abelian algebraické číselné pole.

Dějiny

Iwasawa (1959) představil μ-invariant a Z_p- prodloužení a zjistil, že ve všech případech, které vypočítal, byla nulová. Iwasawa & Sims (1966) použil počítač, aby zkontroloval, zda zmizí pro cytomtomiku Z_p- rozšíření racionálních pro všechny připraví méně než 4000. Iwasawa (1971) později se domníval, že μ-invariant zmizí pro všechny Z_p- rozšíření, ale krátce poté Iwasawa (1973) objevil příklady necyklotomických rozšíření číselných polí s nemizejícím μ-invariantem, což ukazuje, že jeho původní domněnka byla špatná. Navrhl však, že domněnka může stále platit pro cytomtomiku Z_p- rozšíření.

Iwasawa (1958) ukázal, že mizení μ-invariantu pro cyklotomiku Z_p-rozšíření racionálů je ekvivalentní určitým shodám mezi nimi Bernoulliho čísla, a Ferrero a Washington (1979) ukázal, že μ-invariant zmizel v těchto případech tím, že dokázal, že tyto kongruence platí.

Tvrzení

Pro číselné pole K. nechali jsme K._m označte příponu znakem p^m-mocenské kořeny jednoty, ${ displaystyle { hat {K}}}$ unie K._m a A^(p) maximální neramifikovaný abelian p-rozšíření ${ displaystyle { hat {K}}}$. Nech Tate modul

${ displaystyle T_ {p} (K) = mathrm {Gal} (A ^ {(p)} / { hat {K}}) .}$

Pak T_p(K.) je pro-p-skupina a tak Z_p-modul. Použitím teorie pole lze popsat T_p(K.) jako izomorfní k inverznímu limitu skupin tříd C_m z K._m podle normy.^[1]

Iwasawa vystavoval T_p(K.) jako modul po dokončení Z_p[[T]] a z toho vyplývá vzorec pro exponent p v pořadí skupin tříd C_m formuláře

${ displaystyle lambda m + mu p ^ {m} + kappa .}$

Věta Ferrero – Washington uvádí, že μ je nula.^[2]

Reference

• Ferrero, Bruce; Washington, Lawrence C. (1979), „The Iwasawa invariant μ_p zmizí pro abelianská čísla ", Annals of Mathematics, Druhá série, 109 (2): 377–395, doi:10.2307/1971116, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971116, PAN  0528968, Zbl  0443.12001
• Iwasawa, Kenkichi (1958), „On some invariants of cytomtomic fields“, American Journal of Mathematics, 81 (3): 773–783, doi:10.2307/2372857, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372782, PAN  0124317 (A oprava JSTOR  2372857 )
• Iwasawa, Kenkichi (1959), "On Γ-rozšíření algebraických číselných polí", Bulletin of the American Mathematical Society, 65 (4): 183–226, doi:10.1090 / S0002-9904-1959-10317-7, ISSN  0002-9904, PAN  0124316
• Iwasawa, Kenkichi (1971), „Na některých nekonečných abelianských rozšířeních algebraických číselných polí“, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), kniha 1Gauthier-Villars, s. 391–394, PAN  0422205
• Iwasawa, Kenkichi (1973), „Na μ-invarianty rozšíření Z1“, Teorie čísel, algebraická geometrie a komutativní algebra na počest Yasua Akizukiho, Tokio: Kinokuniya, s. 1–11, PAN  0357371
• Iwasawa, Kenkichi; Sims, Charles C. (1966), "Výpočet invariantů v teorii cyklotomických polí", Journal of the Mathematical Society of Japan, 18: 86–96, doi:10,2969 / jmsj / 01810086, ISSN  0025-5645, PAN  0202700
• Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007), Úvod do moderní teorie číselEncyklopedie matematických věd, 49 (Druhé vydání), ISBN  978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Zbl  1079.11002
• Sinnott, W. (1984), „O μ-invariantu Γ-transformace racionální funkce“, Inventiones Mathematicae, 75 (2): 273–282, doi:10.1007 / BF01388565, ISSN  0020-9910, PAN  0732547, Zbl  0531.12004