Celočíselný polynom - Integer-valued polynomial
v matematika, an celočíselný polynom (také známý jako numerický polynom) je polynomiální jehož hodnota je celé číslo pro každé celé číslo n. Každý polynom s celým číslem koeficienty má celočíselnou hodnotu, ale obrácení není pravdivé. Například polynom
přebírá celočíselné hodnoty kdykoli t je celé číslo. Je to proto, že jeden z t a musí být sudé číslo. (Hodnoty, které tento polynom bere, jsou trojúhelníková čísla.)
Celočíselné polynomy jsou objekty studia samy o sobě v algebře a často se objevují v algebraická topologie.[1]
Klasifikace
Třídu polynomů s celočíselnou hodnotou popsal plně George Pólya (1915 ). Uvnitř polynomiální kruh polynomů s racionální číslo koeficienty, podřízený celočíselných polynomů je a bezplatná abelianská skupina. Má jako základ polynomy
pro , tj binomické koeficienty. Jinými slovy, každý polynom s celočíselnou hodnotou lze zapsat jako celé číslo lineární kombinace binomických koeficientů přesně jedním způsobem. Důkaz je metodou diskrétní Taylorova řada: binomické koeficienty jsou celočíselné polynomy a naopak, diskrétní rozdíl celé řady je celočíselná řada, takže diskrétní Taylorova řada celočíselné řady generovaná polynomem má celočíselné koeficienty (a je konečnou řadou).
Opravené hlavní dělitele
Celočíselné polynomy lze efektivně použít k řešení otázek týkajících se pevných dělitelů polynomů. Například polynomy P s celočíselnými koeficienty, které vždy nabývají sudých číselných hodnot, jsou právě takové je celé číslo oceněno. Ty zase jsou polynomy, které mohou být vyjádřeny jako lineární kombinace s sudými celočíselnými koeficienty binomických koeficientů.
V otázkách teorie prvočísel, jako např Schinzelova hypotéza H a Dohoda Bateman – Horn, je věcí základního významu pochopit případ, kdy P nemá žádný pevný hlavní dělitel (toto bylo nazýváno Bunyakovského majetek[Citace je zapotřebí ], po Viktor Bunyakovsky ). Psaním P z hlediska binomických koeficientů vidíme, že nejvyšší pevný dělitel prvočísla je také nejvyšší prvočíslo společný faktor koeficientů v takovém vyjádření. Takže vlastnost Bunyakovského je ekvivalentní coprime koeficientům.
Jako příklad dvojice polynomů n a poruší tuto podmínku v : pro každého n produkt
je dělitelné 3, což vyplývá ze znázornění
vzhledem k binomické bázi, kde nejvyšší společný faktor koeficientů - tedy nejvyšší pevný dělitel —Je 3.
Ostatní prsteny
Numerické polynomy lze definovat nad jinými kruhy a poli, v takovém případě se polynomy s celočíselnou hodnotou výše označují jako klasické numerické polynomy.[Citace je zapotřebí ]
Aplikace
The K-teorie z BU (n) jsou numerické (symetrické) polynomy.
The Hilbertův polynom polynomiálního kruhu v k + 1 proměnných je číselný polynom .
Reference
- ^ Johnson, Keith (2014), „Stabilní teorie homotopie, formální zákony skupiny a polynomy s celočíselnou hodnotou“, Fontana, Marco; Frisch, Sophie; Glaz, Sarah (eds.), Komutativní algebra: Nedávné pokroky v komutativních prstenech, polynomech s celočíselnými hodnotami a polynomiálních funkcích, Springer, str. 213–224, ISBN 9781493909254. Viz zejména s. 213–214.
Algebra
- Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997), Celočíselné polynomyMatematické průzkumy a monografie 48, Providence, RI: Americká matematická společnost, PAN 1421321
- Pólya, Georgi (1915), „Über ganzwertige ganze Funktionen“, Palermo Rend. (v němčině), 40: 1–16, ISSN 0009-725X, JFM 45.0655.02
Algebraická topologie
- Baker, Andrew; Clarke, Francis; Ray, Nigel; Schwartz, Lionel (1989), „Kummerské shody a stabilní homotopie BU", Transakce Americké matematické společnosti, 316 (2): 385–432, doi:10.2307/2001355, JSTOR 2001355, PAN 0942424
- Ekedahl, Torsten (2002), „Na minimálních modelech v teorii integrální homotopy“, Homologie, homotopie a aplikace, 4 (2): 191–218, doi:10.4310 / hha.2002.v4.n2.a9, PAN 1918189, Zbl 1065.55003
- Elliott, Jesse (2006). "Binomické kroužky, polynomy s celočíselnou hodnotou a λ-kroužky". Journal of Pure and Applied Algebra. 207 (1): 165–185. doi:10.1016 / j.jpaa.2005.09.003. PAN 2244389.
- Hubbuck, John R. (1997), "Numerical forms", Journal of the London Mathematical Society, Řada 2, 55 (1): 65–75, doi:10.1112 / S0024610796004395, PAN 1423286
Další čtení
- Narkiewicz, Władysław (1995). Polynomiální mapování. Přednášky z matematiky. 1600. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-59435-3. ISSN 0075-8434. Zbl 0829.11002.