Úplně odpojený prostor - Totally disconnected space

v topologie a související odvětví matematika, a zcela odpojený prostor je topologický prostor který je maximálně odpojen v tom smyslu, že nemá nic netriviálního připojeno podmnožiny. V každém topologickém prostoru jsou spojeny singletony (a pokud je to považováno za spojené, prázdná množina); v úplně odpojeném prostoru, to jsou pouze připojené podmnožiny.

Důležitým příkladem zcela odpojeného prostoru je Cantor set. Další příklad, hraje klíčovou roli v algebraická teorie čísel, je pole $Q p$ z p-adická čísla.

Definice

Topologický prostor X je úplně odpojen pokud připojené komponenty v X jsou jednobodové sady. Analogicky topologický prostor X je zcela odpojen od cesty padám komponenty cesty v X jsou jednobodové sady.

Příklady

Následuje příklad zcela odpojených prostorů:

Diskrétní prostory
The racionální čísla
The iracionální čísla
The p-adic čísla; obecněji všechny profinitní skupiny jsou zcela odpojeni.
The Cantor set a Cantorův prostor
The Baireův prostor
The Sorgenfreyova linie
Každý Hausdorffův prostor malý indukční rozměr 0 je zcela odpojen
The Erdőův prostor ℓ² ${ displaystyle , cap , mathbb {Q} ^ { omega}}$ je zcela odpojený Hausdorffův prostor, který nemá malou indukční dimenzi 0.
Extrémně odpojeno Hausdorffovy prostory
Kamenné prostory
The Fanoušek Knaster – Kuratowski poskytuje příklad propojeného prostoru, takže odstranění jediného bodu vytvoří zcela odpojený prostor.

Vlastnosti

Podprostory, produkty, a koprodukty zcela odpojených prostorů je zcela odpojeno.
Zcela odpojené prostory jsou T₁ mezery, protože singletony jsou uzavřeny.
Kontinuální obrazy zcela odpojených prostorů nemusí být nutně úplně odpojené, ve skutečnosti všechny kompaktní metrický prostor je souvislý obraz Cantor set.
A místně kompaktní Hausdorffův prostor má malý indukční rozměr 0 právě tehdy, když je zcela odpojen.
Každý zcela odpojený kompaktní metrický prostor je homeomorfní do podskupiny a počitatelný produkt diskrétní prostory.
Obecně není pravda, že každá otevřená množina ve zcela odpojeném prostoru je také uzavřena.
Obecně není pravda, že uzavření každé otevřené množiny ve zcela odpojeném prostoru je otevřené, tj. Ne každý úplně odpojený Hausdorffův prostor je extrémně odpojen.

Stavba zcela odpojeného prostoru

Nechat ${ displaystyle X}$ být libovolný topologický prostor. Nechat ${ displaystyle x sim y}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle y in mathrm {conn} (x)}$ (kde ${ displaystyle mathrm {conn} (x)}$ označuje největší připojenou podmnožinu obsahující ${ displaystyle x}$ ). To je zjevně vztah ekvivalence jejichž ekvivalenční třídy jsou připojenými složkami ${ displaystyle X}$ . Vybavit ${ displaystyle X / { sim}}$ s kvocient topologie, tj nejlepší topologie vytváření mapy ${ displaystyle m: x mapsto mathrm {conn} (x)}$ kontinuální. S trochou úsilí to vidíme ${ displaystyle X / { sim}}$ je zcela odpojen. Máme také následující univerzální vlastnictví: pokud ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ souvislou mapu do zcela odpojeného prostoru ${ displaystyle Y}$ , pak existuje a unikátní průběžná mapa ${ displaystyle { breve {f}} :( X / sim) rightarrow Y}$ s ${ displaystyle f = { breve {f}} cirkus m}$ .