Funkce Hurwitz zeta - Hurwitz zeta function - Wikipedia

v matematika, Funkce Hurwitz zeta, pojmenoval podle Adolf Hurwitz, je jedním z mnoha funkce zeta. Je formálně definován pro komplex argumenty s s Re (s)> 1 a q s Re (q)> 0 o

${ displaystyle zeta (s, q) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(n + q) ^ {s}}}.}$

Tato série je absolutně konvergentní pro dané hodnoty s a q a lze jej rozšířit na a meromorfní funkce definováno pro všechny s≠ 1. The Funkce Riemann zeta je ζ (s,1).

Funkce Hurwitz zeta odpovídající q = 1/3. Je generován jako Matplotlib spiknutí s použitím verze Barvení domény metoda.^[1]

Analytické pokračování

Funkce Hurwitz zeta odpovídající q = 24/25.

Li ${ displaystyle mathrm {Re} (s) leq 1}$ funkci Hurwitz zeta lze definovat rovnicí

${ displaystyle zeta (s, q) = gama (1 s) { frac {1} {2 pi i}} int _ {C} { frac {z ^ {s-1} e ^ {qz}} {1-e ^ {z}}} dz}$

Kde obrys ${ displaystyle C}$ je smyčka kolem záporné reálné osy. To poskytuje analytické pokračování ${ displaystyle zeta (s, q)}$.

Funkci Hurwitz zeta lze rozšířit o analytické pokračování do a meromorfní funkce definované pro všechna komplexní čísla ${ displaystyle s}$ s ${ displaystyle s neq 1}$. Na ${ displaystyle s = 1}$ má to jednoduchá tyč s zbytek ${ displaystyle 1}$. Konstantní člen je dán vztahem

${ displaystyle lim _ {s až 1} left [ zeta (s, q) - { frac {1} {s-1}} right] = { frac {- Gamma '(q) } { Gamma (q)}} = - psi (q)}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je funkce gama a ${ displaystyle psi}$ je funkce digamma.

Sériové zastoupení

Funkce Hurwitz zeta jako funkce q s s = 3+4i.

Konvergentní Newtonova řada reprezentace definovaná pro (skutečné) q > 0 a jakýkoli komplex s ≠ 1 dal Helmut Hasse v roce 1930:^[2]

${ displaystyle zeta (s, q) = { frac {1} {s-1}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + 1}} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n zvolte k} (q + k) ^ {1-s}.}$

Tato řada konverguje rovnoměrně kompaktní podmnožiny z s- letadlo do celá funkce. Vnitřní součet lze chápat jako nth vpřed rozdíl z ${ displaystyle q ^ {1-s}}$; to je

${ displaystyle Delta ^ {n} q ^ {1-s} = součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {nk} {n zvolte k} (q + k) ^ { 1-s}}$

kde Δ je operátor dopředného rozdílu. Dá se tedy psát

${ displaystyle { begin {aligned} zeta (s, q) & = { frac {1} {s-1}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1 ) ^ {n}} {n + 1}} Delta ^ {n} q ^ {1-s} & = { frac {1} {s-1}} { log (1+ Delta) over Delta} q ^ {1-s} end {zarovnáno}}}$

Mezi další globálně konvergující řady patří tyto příklady

${ displaystyle zeta (s, v-1) = { frac {1} {s-1}} součet _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n + 1} součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v) ^ {1-s}}$

${ displaystyle zeta (s, v) = { frac {k!} {(sk) _ {k}}} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(n + k)!}} left [{n + k atop n} right] sum _ {l = 0} ^ {n + k-1} ! (- 1) ^ {l} { binom { n + k-1} {l}} (l + v) ^ {ks}, quad k = 1,2,3, ldots}$

${ displaystyle zeta (s, v) = { frac {v ^ {1-s}} {s-1}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} | G_ {n + 1} | sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v) ^ {- s}}$

${ displaystyle zeta (s, v) = { frac {(v-1) ^ {1-s}} {s-1}} - součet _ {n = 0} ^ { infty} C_ {n +1} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v) ^ {- s}}$

${ displaystyle zeta (s, v) { big (} v - { tfrac {1} {2}} { big)} = { frac {s-2} {s-1}} zeta ( s-1, v) + sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} G_ {n + 2} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v) ^ {- s}}$

${ displaystyle zeta (s, v) = - součet _ {l = 1} ^ {k-1} { frac {(k-l + 1) _ {l}} {(sl) _ {l} }} zeta (sl, v) + sum _ {l = 1} ^ {k} { frac {(k-l + 1) _ {l}} {(sl) _ {l}}} v ^ {ls} + k sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} G_ {n + 1} ^ {(k)} sum _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + v) ^ {- s}}$

kde H_n jsou Harmonická čísla, ${ displaystyle left [{ cdot na vrcholu cdot} vpravo]}$ jsou Stirlingova čísla prvního druhu, ${ displaystyle ( ldots) _ { ldots}}$ je Pochhammer symbol, G_n jsou Gregoryho koeficienty, G^(k)
_n jsou Gregoryho koeficienty vyššího řádu a C_n jsou Cauchyova čísla druhého druhu (C₁ = 1/2, C₂ = 5/12, C₃ = 3/8, ...), viz Blagouchinův papír.^[3]

Integrální zastoupení

Funkce má integrální zastoupení, pokud jde o Mellinova transformace tak jako

${ displaystyle zeta (s, q) = { frac {1} { gama (y)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {s-1} e ^ { -qt}} {1-e ^ {- t}}} dt}$

pro ${ displaystyle Re s> 1}$ a ${ displaystyle Re q> 0.}$

Hurwitzův vzorec

Hurwitzův vzorec je teorém, který

${ displaystyle zeta (1-s, x) = { frac {1} {2s}} vlevo [e ^ {- i pi s / 2} beta (x; s) + e ^ {i pi s / 2} beta (1-x; s) vpravo]}$

kde

${ displaystyle beta (x; s) = 2 gama (s + 1) součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { exp (2 pi inx)} {{2 pi n) ^ {s}}} = { frac {2 Gamma (s + 1)} {(2 pi) ^ {s}}} { mbox {Li}} _ {s} (e ^ {2 pi ix})}$

je reprezentace zeta, která je platná pro ${ displaystyle 0 leq x leq 1}$ a s> 1. Tady, ${ displaystyle { text {Li}} _ {s} (z)}$ je polylogaritmus.

Funkční rovnice

The funkční rovnice souvisí hodnoty zeta na levé a pravé straně komplexní roviny. Pro celá čísla ${ displaystyle 1 leq m leq n}$,

${ displaystyle zeta left (1-s, { frac {m} {n}} right) = { frac {2 Gamma (s)} {(2 pi n) ^ {s}}} sum _ {k = 1} ^ {n} left [ cos left ({ frac { pi s} {2}} - { frac {2 pi km} {n}} right) ; zeta left (s, { frac {k} {n}} right) right]}$

platí pro všechny hodnoty s.

Některé konečné částky

S funkční rovnicí úzce souvisí následující konečné součty, z nichž některé lze vyhodnotit v uzavřené formě

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} zeta left (s, { frac {r} {m}} right) cos { dfrac {2 pi rk} {m }} = { frac {m Gamma (1-s)} {(2 pi m) ^ {1-s}}} sin { frac { pi s} {2}} cdot left { zeta left (1-s, { frac {k} {m}} right) + zeta left (1-s, 1 - { frac {k} {m}} right) right } - zeta (s)}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} zeta left (s, { frac {r} {m}} right) sin { dfrac {2 pi rk} {m }} = { frac {m Gamma (1-s)} {(2 pi m) ^ {1-s}}} cos { frac { pi s} {2}} cdot left { zeta left (1-s, { frac {k} {m}} right) - zeta left (1-s, 1 - { frac {k} {m}} right) right }}$

${ displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} zeta ^ {2} left (s, { frac {r} {m}} right) = { big (} m ^ { 2s-1} -1 { big)} zeta ^ {2} (s) + { frac {2m Gamma ^ {2} (1-s)} {(2 pi m) ^ {2-2s }}} sum _ {l = 1} ^ {m-1} left { zeta left (1-s, { frac {l} {m}} right) - cos pi s cdot zeta left (1-s, 1 - { frac {l} {m}} right) right } zeta left (1-s, { frac {l} {m}} right )}$

kde m je kladné celé číslo větší než 2 a s je komplexní, viz např. Dodatek B v.^[4]

Taylor série

Derivát zeta ve druhém argumentu je a posun:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné q}} zeta (s, q) = - s zeta (s + 1, q).}$

To znamená, že Taylor série lze napsat jako:

${ displaystyle zeta (s, x + y) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {y ^ {k}} {k!}} { frac { částečné ^ {k }} { částečné x ^ {k}}} zeta (s, x) = součet _ {k = 0} ^ { infty} {s + k-1 vyberte s-1} (- y) ^ {k} zeta (s + k, x).}$

Alternativně,

${ displaystyle zeta (s, q) = { frac {1} {q ^ {s}}} + součet _ {n = 0} ^ { infty} (- q) ^ {n} {s + n-1 vyberte n} zeta (s + n),}$

s ${ displaystyle | q | <1}$.^[5]

Úzce související je Stark – Keiper vzorec:

${ displaystyle zeta (s, N) = součet _ {k = 0} ^ { infty} doleva [N + { frac {s-1} {k + 1}} doprava] {s + k- 1 vyberte s-1} (- 1) ^ {k} zeta (s + k, N)}$

který platí pro celé číslo N a svévolné s. Viz také Faulhaberův vzorec pro podobný vztah na konečné součty mocností celých čísel.

Laurentova řada

The Laurentova řada rozšíření lze použít k definování Stieltjesovy konstanty které se vyskytují v seriálu

${ displaystyle zeta (s, q) = { frac {1} {s-1}} + součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} gamma _ {n} (q) ; (s-1) ^ {n}.}$

Konkrétně ${ displaystyle gamma _ {0} (q) = - psi (q)}$ a ${ displaystyle gamma _ {0} (1) = - psi (1) = gamma _ {0} = gamma}$.

Fourierova transformace

The diskrétní Fourierova transformace funkce Hurwitz zeta s ohledem na objednávku s je Legendre chi funkce.

Vztah k Bernoulliho polynomům

Funkce ${ displaystyle beta}$ definovaný výše zobecňuje Bernoulliho polynomy:

${ displaystyle B_ {n} (x) = - Re left [(- i) ^ {n} beta (x; n) right]}$

kde ${ displaystyle Re z}$ označuje skutečnou část z. Střídavě,

${ displaystyle zeta (-n, x) = - {B_ {n + 1} (x) nad n + 1}.}$

Vztah platí zejména pro ${ displaystyle n = 0}$ a jeden má

${ displaystyle zeta (0, x) = { frac {1} {2}} - x.}$

Vztah k funkci Jacobi theta

Li ${ displaystyle vartheta (z, tau)}$ je Jacobi funkce theta, pak

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} left [ vartheta (z, it) -1 right] t ^ {s / 2} { frac {dt} {t}} = pi ^ {- (1 s) / 2} Gamma vlevo ({ frac {1-s} {2}} vpravo) vlevo [ zeta (1-s, z) + zeta (1-s, 1-z) vpravo]}$

platí pro ${ displaystyle Re s> 0}$ a z komplexní, ale ne celé číslo. Pro z=n celé číslo, to se zjednoduší na

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} left [ vartheta (n, it) -1 right] t ^ {s / 2} { frac {dt} {t}} = 2 pi ^ {- (1-s) / 2} Gamma left ({ frac {1-s} {2}} right) zeta (1-s) = 2 pi ^ {- s / 2} Gamma left ({ frac {s} {2}} right) zeta (s).}$

kde ζ tady je Funkce Riemann zeta. Tato druhá forma je funkční rovnice pro Riemannovu funkci zeta, jak ji původně uvedl Riemann. Rozlišení založené na z být celé číslo nebo ne, odpovídá za to, že funkce Jacobi theta konverguje k periodice delta funkce nebo Dirac hřeben v z tak jako ${ displaystyle t rightarrow 0}$.

Vztah k Dirichletovi L-funkce

Při racionálních argumentech může být funkce Hurwitz zeta vyjádřena jako lineární kombinace Dirichletovy funkce L. a naopak: Funkce Hurwitz zeta se shoduje s Riemannova funkce zeta ζ (s) když q = 1, když q = 1/2 se rovná (2^s-1) ζ (s),^[6] a pokud q = n/k s k > 2, (n,k)> 1 a 0 <n < k, pak^[7]

${ displaystyle zeta (s, n / k) = { frac {k ^ {s}} { varphi (k)}} součet _ { chi} { overline { chi}} (n) L (s, chi),}$

součet běží přes všechny Dirichletovy postavy mod k. V opačném směru máme lineární kombinaci^[6]

${ displaystyle L (s, chi) = { frac {1} {k ^ {s}}} součet _ {n = 1} ^ {k} chi (n) ; zeta left (s , { frac {n} {k}} vpravo).}$

K dispozici je také věta o násobení

${ displaystyle k ^ {s} zeta (s) = součet _ {n = 1} ^ {k} zeta left (s, { frac {n} {k}} right),}$

z nichž užitečné zobecnění je distribuční vztah^[8]

${ displaystyle sum _ {p = 0} ^ {q-1} zeta (s, a + p / q) = q ^ {s} , zeta (s, qa).}$

(Tento poslední formulář je platný kdykoli q přirozené číslo a 1 -qa není.)

Nuly

Li q= 1 funkce Hurwitz zeta se redukuje na Funkce Riemann zeta sám; -li q= 1/2 redukuje na Riemannovu zeta funkci vynásobenou jednoduchou funkcí komplexního argumentu s (vide výše), což v každém případě vedlo k obtížnému studiu nul Riemannovy zeta funkce. Zejména nebudou žádné nuly se skutečnou částí větší nebo rovnou 1. Pokud je však 0 <q<1 a q≠ 1/2, pak jsou nuly Hurwitzovy zeta funkce v pásu 1 s) <1 + ε pro jakékoli kladné reálné číslo ε. To prokázal Davenport a Heilbronn za racionální nebo transcendentální iracionální q,^[9] a tím Cassels pro algebraickou iracionální q.^[6][10]

Racionální hodnoty

Funkce Hurwitz zeta se vyskytuje v řadě nápadných identit při racionálních hodnotách.^[11] Zejména hodnoty z hlediska Eulerovy polynomy ${ displaystyle E_ {n} (x)}$:

${ displaystyle E_ {2n-1} left ({ frac {p} {q}} right) = (- 1) ^ {n} { frac {4 (2n-1)!} {(2 pi q) ^ {2n}}} sum _ {k = 1} ^ {q} zeta left (2n, { frac {2k-1} {2q}} right) cos { frac {( 2k-1) pi p} {q}}}$

a

${ displaystyle E_ {2n} left ({ frac {p} {q}} right) = (- 1) ^ {n} { frac {4 (2n)!} {(2 pi q) ^ {2n + 1}}} sum _ {k = 1} ^ {q} zeta left (2n + 1, { frac {2k-1} {2q}} right) sin { frac {( 2k-1) pi p} {q}}}$

Jeden také má

${ displaystyle zeta left (s, { frac {2p-1} {2q}} right) = 2 (2q) ^ {s-1} sum _ {k = 1} ^ {q} left [C_ {s} left ({ frac {k} {q}} right) cos left ({ frac {(2p-1) pi k} {q}} right) + S_ {s } left ({ frac {k} {q}} right) sin left ({ frac {(2p-1) pi k} {q}} right) right]}$

který platí pro ${ displaystyle 1 leq p leq q}$. Tady je ${ displaystyle C _ { nu} (x)}$ a ${ displaystyle S _ { nu} (x)}$ jsou definovány pomocí Legendre chi funkce ${ displaystyle chi _ { nu}}$ tak jako

${ displaystyle C _ { nu} (x) = operatorname {Re} , chi _ { nu} (e ^ {ix})}$

a

${ displaystyle S _ { nu} (x) = operatorname {Im} , chi _ { nu} (e ^ {ix}).}$

U celočíselných hodnot ν je lze vyjádřit pomocí Eulerových polynomů. Tyto vztahy lze odvodit použitím funkční rovnice společně s Hurwitzovým vzorcem uvedeným výše.

Aplikace

Hurwitzova funkce zeta se vyskytuje v různých oborech. Nejčastěji se vyskytuje v teorie čísel, kde je jeho teorie nejhlubší a nejrozvinutější. Vyskytuje se však také při studiu fraktály a dynamické systémy. V aplikovaném statistika, vyskytuje se v Zipfův zákon a Zákon Zipf – Mandelbrot. v částicová fyzika, vyskytuje se ve vzorci pomocí Julian Schwinger,^[12] dává přesný výsledek pro výroba párů sazba a Dirac elektron v jednotném elektrickém poli.

Zvláštní případy a zevšeobecňování

Funkce zeta Hurwitz s kladným celým číslem m souvisí s funkce polygammy:

${ displaystyle psi ^ {(m)} (z) = (- 1) ^ {m + 1} m! zeta (m + 1, z) .}$

Pro záporné celé číslo -n hodnoty se vztahují k Bernoulliho polynomy:^[13]

${ displaystyle zeta (-n, x) = - { frac {B_ {n + 1} (x)} {n + 1}} .}$

The Funkce Barnes zeta zobecňuje funkci Hurwitz zeta.

The Lerch transcendentní zobecňuje Hurwitz zeta:

${ displaystyle Phi (z, s, q) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {(k + q) ^ {s}}}}$

a tudíž

${ displaystyle zeta (s, q) = Phi (1, s, q). ,}$

Hypergeometrická funkce

${ displaystyle zeta (s, a) = a ^ {- s} cdot {} _ {s + 1} F_ {s} (1, a_ {1}, a_ {2}, ldots a_ {s} ; a_ {1} + 1, a_ {2} +1, ldots a_ {s} +1; 1)}$ kde ${ displaystyle a_ {1} = a_ {2} = ldots = a_ {s} = a { text {a}} a notin mathbb {N} { text {and}} s in mathbb { N} ^ {+}.}$

Funkce Meijer G.

${ displaystyle zeta (s, a) = G , _ {s + 1, , s + 1} ^ {, 1, , s + 1} left (-1 ; left | ; { begin {matrix} 0,1-a, ldots, 1-a 0, -a, ldots, -a end {matrix}} right) right. qquad qquad s in mathbb {N} ^ {+}.}$

Poznámky

Reference

• Apostol, T. M. (2010), "Funkce Hurwitz zeta", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Viz kapitola 12 Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel„Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, PAN  0434929, Zbl  0335.10001
• Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, Příručka matematických funkcí, (1964) Dover Publications, New York. ISBN  0-486-61272-4. (Vidět Odstavec 6.4.10 pro vztah k funkci polygammy.)
• Davenport, Harold (1967). Multiplikativní teorie čísel. Přednášky z pokročilé matematiky. 1. Chicago: Markham. Zbl  0159.06303.
• Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. (1998). „Deriváty funkce Hurwitz Zeta pro racionální argumenty“. Journal of Computational and Applied Mathematics. 100 (2): 201–206. doi:10.1016 / S0377-0427 (98) 00193-9.
• Vepstas, Linas. „Operátor Bernoulli, operátor Gauss – Kuzmin – Wirsing a Riemann Zeta“ (PDF).
• Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Hyperharmonická řada zahrnující funkci Hurwitz zeta". Žurnál teorie čísel. 130 (2): 360–369. doi:10.1016 / j.jnt.2009.08.005. hdl:2437/90539.

externí odkazy

• Jonathan Sondow a Eric W. Weisstein. "Funkce Hurwitz Zeta". MathWorld.