Hyperharmonické číslo - Hyperharmonic number - Wikipedia

v matematika, n-th hyperharmonické číslo řádu r, označeno ${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)}}$, je rekurzivně definován vztahy:

${ displaystyle H_ {n} ^ {(0)} = { frac {1} {n}},}$

a

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = součet _ {k = 1} ^ {n} H_ {k} ^ {(r-1)} quad (r> 0).}$^{[Citace je zapotřebí ]}

Zejména, ${ displaystyle H_ {n} = H_ {n} ^ {(1)}}$ je n-th harmonické číslo.

Hyperharmonická čísla byla diskutována J. H. Conway a R. K. Guy ve své knize z roku 1995 Kniha čísel.^[1]:258

Totožnosti zahrnující hyperharmonická čísla

Podle definice hyperharmonická čísla splňují relace opakování

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = H_ {n-1} ^ {(r)} + ​​H_ {n} ^ {(r-1)}.}$

Místo opakování existuje efektivnější vzorec pro výpočet těchto čísel:

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = { binom {n + r-1} {r-1}} (H_ {n + r-1} -H_ {r-1}).}$

Hyperharmonická čísla mají silný vztah ke kombinatorice permutací. Zobecnění identity

${ displaystyle H_ {n} = { frac {1} {n!}} vlevo [{n + 1 na vrcholu 2} vpravo].}$

zní jako

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} = { frac {1} {n!}} vlevo [{n + r nahoře r + 1} vpravo] _ {r},}$

kde ${ displaystyle left [{n nahoře r} doprava] _ {r}}$ je r-Stirling číslo prvního druhu.^[2]

Asymptotika

Výše uvedený výraz s binomickými koeficienty snadno dává, že pro všechny pevné pořadí r> = 2 my máme.^[3]

${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)} sim { frac {1} {(r-1)!}} left (n ^ {r-1} ln (n) right),}$

to znamená, že podíl na levé a pravé straně má tendenci k 1 jako n inklinuje k nekonečnu.

Okamžitým důsledkem je to

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {(r)}} {n ^ {m}}} <+ infty}$

když m> r.

Generující funkce a nekonečné řady

The generující funkce hyperharmonických čísel je

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n} ^ {(r)} z ^ {n} = - { frac { ln (1-z)} {(1-z ) ^ {r}}}.}$

The exponenciální generující funkce je mnohem těžší odvodit. Jeden to má za všechny r = 1,2, ...

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n} ^ {(r)} { frac {t ^ {n}} {n!}} = e ^ {t} vlevo ( sum _ {n = 1} ^ {r-1} H_ {n} ^ {(rn)} { frac {t ^ {n}} {n!}} + { frac {(r-1)! } {(r!) ^ {2}}} t ^ {r} , _ {2} F_ {2} left (1,1; r + 1, r + 1; -t right) right) ,}$

kde ₂F₂ je hypergeometrická funkce. The r = 1 případ harmonických čísel je klasický výsledek, obecný v roce 2009 prokázali I. Mező a A. Dil.^[4]

Další vztah spojuje hyperharmonická čísla s Funkce Hurwitz zeta:^[3]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {(r)}} {n ^ {m}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} H_ {n} ^ {(r-1)} zeta (m, n) quad (r geq 1, m geq r + 1).}$

Otevřená domněnka

Je známo, že harmonická čísla nejsou nikdy celá čísla kromě případu n = 1. Stejná otázka může být položena s ohledem na hyperharmonická čísla: existují celočíselná hyperharmonická čísla? István Mező dokázal^[5] to když r = 2 nebo r = 3, tato čísla nikdy nejsou celá čísla kromě triviálního případu, kdy n = 1. Domníval se, že tomu tak vždy je, jmenovitě hyperharmonická čísla řádu r nikdy nejsou celá čísla kromě případů, kdy n = 1. Tuto domněnku pro třídu parametrů ospravedlnili R. Amrane a H. Belbachir.^[6] Tito autoři to zejména dokázali ${ displaystyle H_ {n} ^ {(4)}}$ není celé číslo pro všechny r <26 an = 2,3, ... Rozšíření na vysoké objednávky provedli Göral a Sertbaş.^[7] Tito autoři to také ukázali ${ displaystyle H_ {n} ^ {(r)}}$ nikdy není celé číslo, když n je sudá nebo hlavní síla, nebo r je zvláštní.

Dalším výsledkem je následující.^[8] Nechat ${ displaystyle S (x)}$ být počet necelých hyperharmonických čísel takový, že ${ displaystyle (n, x) v [0, x] krát [0, x]}$. Pak, za předpokladu, že Cramérova domněnka,

${ displaystyle S (x) = x ^ {2} + O (x log ^ {3} x).}$

Všimněte si, že počet celočíselných mřížkových bodů v ${ displaystyle [0, x] krát [0, x]}$ je ${ displaystyle x ^ {2} + O (x ^ {2})}$, což ukazuje, že většina hyperharmonických čísel nemůže být celé číslo. Domněnka je však stále otevřená.

externí odkazy

• Wolfram MathWorld

Poznámky