Giniho koeficient - Gini coefficient

v ekonomika, Giniho koeficient (/ˈdʒiːni/ JEE-rozená ), někdy nazývaný Giniho index nebo Giniho poměr, je míra statistického rozptylu zamýšlel reprezentovat nerovnost příjmů nebo nerovnost bohatství v rámci národa nebo jiné skupiny lidí. Byl vyvinut Italem statistik a sociolog Corrado Gini a publikoval ve své práci z roku 1912 Variabilita a proměnlivost (italština: Variabilità e mutabilità).[2][3]
Giniho koeficient měří nerovnost mezi hodnotami a rozdělení frekvence (například úrovně příjem ). Nulový Giniho koeficient vyjadřuje dokonalou rovnost, kde jsou všechny hodnoty stejné (například když má každý stejný příjem). Giniho koeficient jedné (nebo 100%) vyjadřuje maximální nerovnost mezi hodnotami (např. Pro velký počet lidí, kde pouze jeden člověk má veškerý příjem nebo spotřebu a všichni ostatní žádný nemají, bude Giniho koeficient téměř jeden).[4][5]
U větších skupin jsou hodnoty blízké jedné nepravděpodobné. Vzhledem k normalizaci jak kumulativní populace, tak kumulativního podílu příjmů použitých k výpočtu Giniho koeficientu není opatření příliš citlivé na specifika rozdělení příjmů, nýbrž pouze na to, jak se příjmy liší od ostatních členů populace . Výjimka je v přerozdělení příjmu což má za následek minimální příjem pro všechny lidi. Když je populace roztříděna, pokud by se jejich rozdělení příjmů mělo blížit známé funkci, bylo možné vypočítat některé reprezentativní hodnoty.
Giniho koeficient navrhl Gini jako měřítko nerovnost z příjem nebo bohatství.[6] Pro Země OECD na konci 20. století, s ohledem na dopad daní a platby převodem, Giniho koeficient příjmu se pohyboval mezi 0,24 a 0,49, přičemž Slovinsko bylo nejnižší a Mexiko nejvyšší.[7] Africké země měly nejvyšší Giniho koeficient před zdaněním v letech 2008–2009, přičemž Jihoafrická republika byla nejvyšší na světě, různě se odhadovala na 0,63 až 0,7,[8][9] i když toto číslo po zohlednění sociální pomoci klesne na 0,52 a po zdanění opět klesne na 0,47.[10] Giniho koeficient globálního příjmu v roce 2005 byl podle různých zdrojů odhadován na 0,61 až 0,68.[11][12]
Při interpretaci Giniho koeficientu existují určité problémy. Stejná hodnota může být výsledkem mnoha různých distribučních křivek. Je třeba vzít v úvahu demografickou strukturu. Země se stárnoucí populací nebo s baby boomem zažívají rostoucí Giniho koeficient před zdaněním, i když rozdělení skutečných příjmů pro pracující dospělé zůstává konstantní. Učenci vymysleli více než tucet variant Giniho koeficientu.[13][14][15]
Dějiny
Giniho koeficient byl vyvinut italským statistikem Corrado Gini v roce 1912. Staví na práci amerického ekonoma Max Lorenz Gini navrhl, aby se rozdíl mezi hypotetickou přímkou zobrazující dokonalou rovnost a skutečnou přímkou zobrazující příjmy lidí používal jako měřítko nerovnosti.[16]
Definice

Graf ukazuje, že Giniho koeficient se rovná označené ploše A děleno součtem označených oblastí A a B, to znamená, Gini = A/(A + B). Rovná se také 2A a do 1 − 2B vzhledem k faktu, že A + B = 0.5 (protože osy se pohybují od 0 do 1).
Giniho koeficient je jediné číslo zaměřené na měření míry nerovnosti v distribuci. Nejčastěji se používá v ekonomii k měření toho, jak daleko se odchylka rozložení bohatství nebo příjmů v zemi liší od zcela stejného rozdělení.
Gini je součet, přes všechny populačně-percentilové populační percentily, deficitu kumulativního příjmu od stejného podílu až do každého populačního percentilu. .... s tímto souhrnným schodkem děleným největší hodnotou, kterou by mohl mít, s úplnou nerovností.
Obvykle je definován Giniho koeficient matematicky založeno na Lorenzova křivka, který vykresluje podíl celkového příjmu populace (osa y), který je kumulativně vydělán dnem X populace (viz diagram). Čára pod 45 stupni tedy představuje dokonalou rovnost příjmů. Giniho koeficient lze potom považovat za poměr plochy, která leží mezi přímkou rovnosti a Lorenzovou křivkou (označená A v diagramu) přes celkovou plochu pod čárou rovnosti (označené A a B v diagramu); tj., G = A/(A + B). Rovná se také 2A a do 1 − 2B vzhledem k faktu, že A + B = 0.5 (protože osy se pohybují od 0 do 1).
Pokud mají všichni lidé nezáporný příjem (případně bohatství), může se Giniho koeficient teoreticky pohybovat od 0 (úplná rovnost) do 1 (úplná nerovnost); někdy se vyjadřuje jako procento v rozmezí od 0 do 100. Ve skutečnosti nejsou obě extrémní hodnoty zcela dosaženy. Pokud jsou možné záporné hodnoty (například negativní bohatství lidí s dluhy), pak by Giniho koeficient mohl teoreticky být více než 1. Průměrný (nebo celkový) koeficient se obvykle považuje za kladný, což vylučuje Giniho koeficient menší než nula.
Alternativním přístupem je definování Giniho koeficientu jako poloviny relativní průměr absolutní rozdíl, což je matematicky ekvivalentní definici založené na Lorenzově křivce.[17] Průměrný absolutní rozdíl je průměr absolutní rozdíl ze všech párů položek populace a relativní průměrný absolutní rozdíl je průměrný absolutní rozdíl dělený průměrný, , normalizovat pro měřítko. Li Xi je bohatství nebo příjem osoby i, a jsou n osob, pak Giniho koeficient G darováno:
Když je rozdělení příjmů (nebo bohatství) uvedeno jako spojité funkce rozdělení pravděpodobnosti p(X), Giniho koeficient je opět polovinou relativního průměrného absolutního rozdílu:
kde je průměr distribuce a spodní hranice integrace mohou být nahrazeny nulou, pokud jsou všechny příjmy kladné.
Výpočet
![]() | Tato část je tón nebo styl nemusí odrážet encyklopedický tón použitý na Wikipedii.Února 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |

Zatímco rozdělení příjmů kterékoli konkrétní země nemusí následovat jednoduché funkce, tyto funkce poskytují kvalitativní pochopení rozdělení příjmů v zemi vzhledem k Giniho koeficientu.
Příklad: dvě úrovně příjmu
Extrémními případy jsou nejrovnější společnost, v níž každý člověk dostává stejný příjem (G = 0) a nejvíce nerovné společnosti, kde svobodná osoba pobírá 100% celkového příjmu a zbývající část N − 1 lidé nedostávají žádné (G = 1 − 1/N).
Obecnější zjednodušený případ také jen rozlišuje dvě úrovně příjmu, nízkou a vysokou. Pokud je skupina s vysokými příjmy poměr u populace a vydělává část F ze všech příjmů, pak je Giniho koeficient F − u. Skutečná odstupňovaná distribuce se stejnými hodnotami u a F bude mít vždy vyšší Giniho koeficient než F − u.
Pověstný případ, kdy nejbohatších 20% má 80% veškerého příjmu (viz Paretův princip ) by vedlo k Giniho koeficientu příjmu alespoň 60%.
Často citovaný[18] v případě, že 1% veškeré světové populace vlastní 50% veškerého bohatství, znamená Giniho koeficient bohatství nejméně 49%.
Alternativní výrazy
V některých případech lze tuto rovnici použít k výpočtu Giniho koeficientu bez přímého odkazu na Lorenzovu křivku. Například (odběr y znamená příjem nebo bohatství osoby nebo domácnosti):
- Pro populační uniformu na hodnotách yi, i = 1 až n, indexováno v neklesajícím pořadí (yi ≤ yi+1):
- To lze zjednodušit na:
- Tento vzorec skutečně platí pro jakoukoli skutečnou populaci, protože každé osobě lze přiřadit její vlastní yi.[19]
Protože Giniho koeficient je polovina relativního průměrného absolutního rozdílu, lze jej také vypočítat pomocí vzorců pro relativní průměrný absolutní rozdíl. Pro náhodný vzorek S skládající se z hodnot yi, i = 1 až n, které jsou indexovány v neklesajícím pořadí (yi ≤ yi+1), statistika:
je konzistentní odhad populačního Giniho koeficientu, ale obecně není objektivní. Jako G, G(S) má jednodušší formu:
Neexistuje statistika vzorku, která by obecně byla objektivním odhadcem populačního Giniho koeficientu, jako je relativní průměr absolutní rozdíl.
Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
Pro diskrétní rozdělení pravděpodobnosti s funkcí pravděpodobnostní hmotnosti , kde je zlomek populace s příjmem nebo bohatstvím , Giniho koeficient je:
kde
- Pokud jsou body s nenulovou pravděpodobností indexovány ve vzestupném pořadí pak:
kde
- a Tyto vzorce jsou také použitelné v limitu jako
Kontinuální rozdělení pravděpodobnosti
Když je populace velká, rozdělení příjmů může být reprezentováno kontinuem funkce hustoty pravděpodobnosti F(X) kde F(X) dx je zlomek populace s bohatstvím nebo příjmem v daném intervalu dx o X. Li F(X) je kumulativní distribuční funkce pro F(X), pak Lorenzova křivka L(F) pak může být reprezentován jako parametrická funkce v L(X) a F(X) a hodnota B najdete na integrace:
Giniho koeficient lze také vypočítat přímo z kumulativní distribuční funkce distribuce F(y). Definování μ jako střední hodnoty distribuce a upřesnění F(y) je nula pro všechny záporné hodnoty, Giniho koeficient je dán vztahem:
Druhý výsledek pochází z integrace po částech. (Upozorňujeme, že tento vzorec lze použít, pokud existují záporné hodnoty, pokud je integrace převzata z minus nekonečna do plus nekonečna.)
Giniho koeficient může být vyjádřen jako kvantilová funkce Q(F) (inverzní kumulativní distribuční funkce: Q(F(X)) = X)
U některých funkčních forem lze index Gini vypočítat explicitně. Například pokud y následuje a lognormální distribuce se standardní odchylkou protokolů rovnou , pak kde je chybová funkce ( od té doby , kde je kumulativní standardní normální rozdělení).[20] V následující tabulce jsou uvedeny některé příklady funkcí hustoty pravděpodobnosti s podporou jsou zobrazeny.[Citace je zapotřebí ] Diracova delta distribuce představuje případ, kdy každý má stejné bohatství (nebo příjem); znamená to, že mezi příjmy nejsou vůbec žádné rozdíly.
Funkce rozdělení příjmů PDF (x) Giniho koeficient Diracova delta funkce 0 Rovnoměrné rozdělení