Věta o jedinečnosti pro Poissonsovu rovnici - Uniqueness theorem for Poissons equation - Wikipedia

The věta o jedinečnosti pro Poissonova rovnice uvádí, že pro velkou třídu okrajové podmínky, rovnice může mít mnoho řešení, ale gradient každého řešení je stejný. V případě elektrostatika, to znamená, že existuje jedinečný elektrické pole odvozeno z potenciální funkce splňující Poissonovu rovnici za okrajových podmínek.

Důkaz

v Gaussovy jednotky, obecný výraz pro Poissonova rovnice v elektrostatika je

{ displaystyle mathbf { nabla} cdot ( varepsilon , mathbf { nabla} varphi) = - rho _ {f}}

Tady ${ displaystyle varphi}$ je elektrický potenciál a ${ displaystyle mathbf {E} = - mathbf { nabla} varphi}$ je elektrické pole.

Jedinečnost gradientu řešení (jedinečnost elektrického pole) lze u velké třídy okrajových podmínek dokázat následujícím způsobem.

Předpokládejme, že existují dvě řešení ${ displaystyle varphi _ {1}}$ a ${ displaystyle varphi _ {2}}$ . Jeden pak může definovat ${ displaystyle varphi = varphi _ {2} - varphi _ {1}}$ což je rozdíl obou řešení. Vzhledem k tomu, že oba ${ displaystyle varphi _ {1}}$ a ${ displaystyle varphi _ {2}}$ uspokojit Poissonova rovnice, ${ displaystyle varphi}$ musí uspokojit

{ displaystyle mathbf { nabla} cdot ( varepsilon , mathbf { nabla} varphi) = 0}

Používání identity

{ Displaystyle nabla cdot ( varphi varepsilon , nabla varphi) = varepsilon , ( nabla varphi) ^ {2} + varphi , nabla cdot ( varepsilon , nabla varphi)}

A když si všimneme, že druhý člen je nula, lze to přepsat jako

{ displaystyle mathbf { nabla} cdot ( varphi varepsilon , mathbf { nabla} varphi) = varepsilon ( mathbf { nabla} varphi) ^ {2}}

Vezmeme-li objemový integrál ve všech prostorech určených hraničními podmínkami

{ displaystyle int _ {V} mathbf { nabla} cdot ( varphi varepsilon , mathbf { nabla} varphi) , d ^ {3} mathbf {r} = int _ { V} varepsilon ( mathbf { nabla} varphi) ^ {2} , d ^ {3} mathbf {r}}

Uplatnění věta o divergenci, výraz lze přepsat na

{ displaystyle sum _ {i} int _ {S_ {i}} ( varphi varepsilon , mathbf { nabla} varphi) cdot mathbf {dS} = int _ {V} varepsilon ( mathbf { nabla} varphi) ^ {2} , d ^ {3} mathbf {r}}

kde ${ displaystyle S_ {i}}$ jsou hraniční plochy určené okrajovými podmínkami.

Od té doby ${ displaystyle varepsilon> 0}$ a ${ displaystyle ( mathbf { nabla} varphi) ^ {2} geq 0}$ , pak ${ displaystyle mathbf { nabla} varphi}$ všude musí být nula (a tak ${ displaystyle mathbf { nabla} varphi _ {1} = mathbf { nabla} varphi _ {2}}$ ) když povrchový integrál zmizí.

To znamená, že gradient řešení je jedinečný, když

{ displaystyle sum _ {i} int _ {S_ {i}} ( varphi varepsilon , mathbf { nabla} varphi) cdot mathbf {dS} = 0}

Mezi okrajové podmínky, pro které platí výše uvedené, patří:

Dirichletova okrajová podmínka: ${ displaystyle varphi}$ je dobře definována na všech hraničních plochách. Jako takový ${ displaystyle varphi _ {1} = varphi _ {2}}$ takže na hranici ${ displaystyle varphi = 0}$ a odpovídajícím způsobem zmizí povrchový integrál.
Neumannova okrajová podmínka: ${ displaystyle mathbf { nabla} varphi}$ je dobře definována na všech hraničních plochách. Jako takový ${ displaystyle mathbf { nabla} varphi _ {1} = mathbf { nabla} varphi _ {2}}$ takže na hranici ${ displaystyle mathbf { nabla} varphi = 0}$ a odpovídajícím způsobem zmizí povrchový integrál.
Upraveno Neumannova okrajová podmínka (také zvaný Okrajová podmínka Robin - podmínky, kdy jsou hranice stanoveny jako vodiče se známými náboji): ${ displaystyle mathbf { nabla} varphi}$ je také dobře definován lokální aplikací Gaussův zákon. Jako takový zmizí také povrchový integrál.
Smíšené okrajové podmínky (kombinace Dirichletova, Neumannova a modifikovaných Neumannova okrajových podmínek): věta o jedinečnosti bude stále platit.

Hraniční povrchy mohou také zahrnovat hranice v nekonečnu (popisující neohraničené domény) - pro tyto platí věta o jedinečnosti, pokud zmizí povrchový integrál, což je případ (například), když se na velké vzdálenosti integrand rozpadá rychleji, než plocha narůstá.

Viz také

Reference

L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1975). Klasická teorie polí. Sv. 2 (4. vydání). Butterworth – Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
J. D. Jackson (1998). Klasická elektrodynamika (3. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.