Vzorec diskriminující vodiče - Conductor-discriminant formula

v matematika, vodič-diskriminační vzorec nebo Führerdiskriminantenproduktformel, představil Hasse (1926, 1930 ) pro abelianská rozšíření a Artin (1931 ) pro rozšíření Galois, je vzorec pro výpočet relativního diskriminující konečného rozšíření Galois ${displaystyle L / K}$ místních nebo globální pole z Artinovy vodiče z neredukovatelné znaky ${displaystyle mathrm {Irr} (G)}$ z Galoisova skupina ${displaystyle G = G (L / K)}$ .

Tvrzení

Nechat ${displaystyle L / K}$ být konečným Galoisovým rozšířením globálních polí se skupinou Galois ${displaystyle G}$ . Pak diskriminující rovná se

{displaystyle {mathfrak {d}} _ {L / K} = prod _ {chi in mathrm {Irr} (G)} {mathfrak {f}} (chi) ^ {chi (1)},}

kde ${displaystyle {mathfrak {f}} (chi)}$ rovná se globální Artin dirigent z ${displaystyle chi}$ .^[1]

Příklad

Nechat ${displaystyle L = mathbf {Q} (zeta _ {p ^ {n}}) / mathbf {Q}}$ být cyklometické prodloužení racionálních. Skupina Galois ${displaystyle G}$ rovná se ${displaystyle (mathbf {Z} / p ^ {n}) ^ {imes}}$ . Protože ${displaystyle (p)}$ je jediný konečný primární rozvětvený, globální Artinův dirigent ${displaystyle {mathfrak {f}} (chi)}$ rovná se místní ${displaystyle {mathfrak {f}} _ {(p)} (chi)}$ . Protože ${displaystyle G}$ je abelian, každá netriviální neredukovatelná postava ${displaystyle chi}$ je stupně ${displaystyle 1 = chi (1)}$ . Poté místní Artinův dirigent ${displaystyle chi}$ se rovná vodiči ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ -adické dokončení ${displaystyle L ^ {chi} = L ^ {mathrm {ker} (chi)} / mathbf {Q}}$ , tj. ${displaystyle (p) ^ {n_ {p}}}$ , kde ${displaystyle n_ {p}}$ je nejmenší přirozené číslo takové, že ${displaystyle U_ {mathbf {Q} _ {p}} ^ {(n_ {p})} subseteq N_ {L_ {mathfrak {p}} ^ {chi} / mathbf {Q} _ {p}} (U_ {L_ {mathfrak {p}} ^ {chi}})}$ . Li ${displaystyle p> 2}$ , skupina Galois ${displaystyle G (L_ {mathfrak {p}} / mathbf {Q} _ {p}) = G (L / mathbf {Q} _ {p}) = (mathbf {Z} / p ^ {n}) ^ { imes}}$ je cyklický řádu ${displaystyle varphi (p ^ {n})}$ , a tím teorie místní třídy pole a používat to ${displaystyle U_ {mathbf {Q} _ {p}} / U_ {mathbf {Q} _ {p}} ^ {(k)} = (mathbf {Z} / p ^ {k}) ^ {imes}}$ člověk to snadno vidí ${displaystyle {mathfrak {f}} _ {(p)} (chi) = (p ^ {varphi (p ^ {n}) (n-1 / (p-1))})}$ : exponent je