Vorlesungen über Zahlentheorie - Vorlesungen über Zahlentheorie - Wikipedia

Vorlesungen über Zahlentheorie (Německy pro Přednášky o teorii čísel) je název několika různých učebnic teorie čísel. Nejznámější napsal Peter Gustav Lejeune Dirichlet a Richard Dedekind, a publikováno v roce 1863. Ostatní napsal autor Leopold Kronecker, Edmund Landau, a Helmut Hasse. Všechny pokrývají základní teorii čísel, Dirichletovu větu, kvadratická pole a formy a někdy i pokročilejší témata.

Dirichletova a Dedekindova kniha

Na základě Dirichletova kurzu teorie čísel na Univerzita v Göttingenu, Vorlesungen byly editovány Dedekindem a publikovány po Lejeune Dirichletově smrti. Dedekind přidal několik dodatků k Vorlesungen, ve kterém shromáždil další výsledky Lejeunea Dirichleta a také rozvinul své vlastní originální matematické myšlenky.

Rozsah

The Vorlesungen pokrývat témata v teorii elementárních čísel, algebraická teorie čísel a analytická teorie čísel, počítaje v to modulární aritmetika kvadratické kongruence, kvadratická vzájemnost a binární kvadratické formy.

Obsah

Obsah profesora John Stillwell Překlad z roku 1999 Vorlesungen jsou následující

Kapitola 1. O dělitelnosti čísel
Kapitola 2. O shodě čísel
Kapitola 3. O kvadratických zbytcích
Kapitola 4. O kvadratických formách
Kapitola 5. Stanovení počtu tříd binárních kvadratických forem
Dodatek I. Některé věty z Gaussovy teorie dělení kruhů
Dodatek II. O mezní hodnotě nekonečné řady
Dodatek III. Geometrická věta
Dodatek IV. Rody kvadratických forem
Dodatek V. Zbytky energie pro složené moduly
Dodatek VI. Připraví v aritmetických postupech
Dodatek VII. Některé věty z teorie dělení kruhů
Dodatek VIII. Na Pell rovnici
Dodatek IX. Konvergence a kontinuita některých nekonečných řad

Tento překlad nezahrnuje Dedekindovy doplňky X a XI, ve kterých začíná rozvíjet teorii ideály.

Německé tituly doplňků X a XI jsou:

Dodatek X: Über die Composition der binären quadratische Formen (O složení binárních kvadratických forem)
Dodatek XI: Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (O teorii algebraických celých čísel)

Kapitoly 1 až 4 se zabývají podobným základem jako Gauss ' Disquisitiones Arithmeticae a Dedekind přidali poznámky pod čarou, které konkrétně odkazují na příslušné oddíly Disquisitiones. Tyto kapitoly lze považovat za souhrn existujících znalostí, ačkoli Dirichlet zjednodušuje Gaussovu prezentaci a na některých místech přináší vlastní důkazy.

Kapitola 5 obsahuje Dirichletovu derivaci číslo třídy vzorec pro skutečné a imaginární kvadratická pole. Ačkoli jiní matematici předpokládali podobné vzorce, Dirichlet poskytl první přísný důkaz.

Dodatek VI obsahuje Dirichletův důkaz, že aritmetický postup formy A+nd kde A a d are coprime obsahuje nekonečné množství prvočísel.

Důležitost

The Vorlesungen lze považovat za předěl mezi klasickou teorií čísel z Fermat, Jacobi a Gauss a moderní Dedekindova teorie čísel, Riemann a Hilbert. Dirichlet výslovně neuznává pojem skupina to je pro moderní algebra, ale mnoho z jeho důkazů ukazuje implicitní pochopení teorie grup.

The Vorlesungen obsahuje dva klíčové výsledky v teorii čísel, které poprvé prokázal Dirichlet. První z nich je číslo třídy vzorce pro binární kvadratické tvary. Druhý je důkazem, že aritmetické průběhy obsahují nekonečné množství prvočísel (známé jako Dirichletova věta ); tento důkaz zavádí Dirichlet řada L.. Tyto výsledky jsou důležitými milníky ve vývoji teorie analytických čísel.

Kroneckerova kniha

Leopold Kronecker Kniha byla poprvé vydána v roce 1901 ve dvou částech a znovu vytištěna Springerem v roce 1978. Pokrývá základní a algebraickou teorii čísel, včetně Dirichletovy věty.

Landauova kniha

Edmund Landau kniha Vorlesungen über Zahlentheorie byl poprvé vydán jako třídílný soubor v roce 1927. První polovina svazku 1 byla publikována jako Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie v roce 1950, s anglickým překladem v roce 1958 pod názvem Základní teorie čísel. V roce 1969 vydala Chelsea druhou polovinu svazku 1 společně se svazky 2 a 3 jako jeden svazek.

Svazek 1 o základní a aditivní teorii čísel zahrnuje témata jako Dirichletova věta, Brunovo síto, binární kvadratické formy, Goldbachova domněnka, Waringův problém a práce Hardyho-Littlewooda na singulární sérii. Svazek 2 zahrnuje témata v teorii analytických čísel, například odhady chyby v teorému prvočísel, a témata v teorii geometrických čísel, jako je odhad počtu mřížových bodů. Svazek 3 zahrnuje algebraickou teorii čísel, včetně ideální teorie, kvadratických číselných polí a aplikací k Fermatově poslední větě. Mnohé z výsledků popsaných Landauem byly v té době nejmodernější, ale od té doby byly nahrazeny silnějšími výsledky.

Hasseova kniha

Helmut Hasse kniha Vorlesungen über Zahlentheorie byl vydán v roce 1950 a je odlišný od jeho knihy Zahlentheorie. Pokrývá základní teorii čísel, Dirichletovu větu a kvadratická pole.

Reference

  • P. G. Lejeune Dirichlet, R. Dedekind tr. John Stillwell: Přednášky o teorii čísel, American Mathematical Society, 1999 ISBN  0-8218-2017-6 The Göttinger Digitalisierungszentrum má naskenovaná kopie původního textu z 2. vydání (v němčině) publikovaného v roce 1871, který obsahuje přílohy I – X. Dodatek XI najdete ve třetím svazku Dedekindových úplných děl také na Göttinger Digitalisierungszentrum. 4. vydání z roku 1894, které obsahuje všechny doplňky včetně Dedekind's XI, je k dispozici na Internetový archiv.
  • Hasse, Helmut (1950), Vorlesungen über Zahlentheorie, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, LIX, Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-88679-9, PAN  0051844
  • Kronecker, Leopold (1978) [1901], Vorlesungen über Zahlentheorie, Berlín-New York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-08277-8, PAN  0529431
  • Landau, Edmund (1958) [1927], Základní teorie čísel., New York, NY: Chelsea Publishing Co., PAN  0092794
  • Landau, Edmund (1969) [1927], Vorlesungen über Zahlentheorie. Erster Band, zweiter Teil; zweiter Band; dritter Band., New York: Chelsea Publishing Co., PAN  0250844