Minkowskis vázán - Minkowskis bound - Wikipedia

v algebraická teorie čísel, Minkowski je spoután dává horní hranice normy ideálů, které mají být zkontrolovány za účelem stanovení číslo třídy a pole s číslem K.. Je pojmenován pro matematika Hermann Minkowski.

Definice

Nechat D být diskriminující pole, n být mírou K. přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$, a ${ displaystyle 2r_ {2} = n-r_ {1}}$ být počet komplexní vložení kde ${ displaystyle r_ {1}}$ je počet skutečné vložení. Pak každá třída v ideální třídní skupina z K. obsahuje integrální ideál z norma nepřekračující Minkowského vazbu

${ displaystyle M_ {K} = { sqrt {| D |}} vlevo ({ frac {4} { pi}} vpravo) ^ {r_ {2}} { frac {n!} {n ^ {n}}} .}$

Minkowského konstanta pro pole K. je to vázané M_K..^[1]

Vlastnosti

Protože počet integrálních ideálů dané normy je konečný, konečnost čísla třídy je okamžitým důsledkem,^[1] a dále ideální třídní skupina je generován hlavní ideály normy maximálně M_K..

Minkowského hranice může být použita k odvození dolní hranice pro diskriminační pole K. daný n, r₁ a r₂. Protože integrální ideál má normu alespoň jednu, máme 1 ≤ M_K., aby

${ displaystyle { sqrt {| D |}} geq left ({ frac { pi} {4}} right) ^ {r_ {2}} { frac {n ^ {n}} {n !}} geq left ({ frac { pi} {4}} right) ^ {n / 2} { frac {n ^ {n}} {n!}} .}$

Pro n alespoň 2, je snadné ukázat, že dolní mez je větší než 1, takže získáme Minkowského věta, že diskriminátor každého číselného pole, kromě Q, je netriviální. To znamená, že pole racionálních čísel nemá unramified přípona.

Důkaz

Výsledek je důsledkem Minkowského věta.

Reference

• Koch, Helmut (1997). Algebraická teorie čísel. Encycl. Matematika. Sci. 62 (2. tisk 1. vydání). Springer-Verlag. ISBN  3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.
• Lang, Serge (1994). Algebraická teorie čísel. Postgraduální texty z matematiky. 110 (druhé vydání). New York: Springer. ISBN  0-387-94225-4. Zbl  0811.11001.
• Pohst, M .; Zassenhaus, H. (1989). Algoritmická algebraická teorie čísel. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 30. Cambridge University Press. ISBN  0-521-33060-2. Zbl  0685.12001.

externí odkazy

• „Použití Minkowského konstanty k nalezení čísla třídy“. PlanetMath.
• Stevenhagen, Peter. Číselné kroužky.
• Minkowski Bound na Secret Blogging Seminar