Hilbertovo pole třídy - Hilbert class field - Wikipedia
v algebraická teorie čísel, Hilbertovo pole třídy E a pole s číslem K. je maximální abelian unramified rozšíření K.. Jeho stupeň skončil K. se rovná počtu tříd K. a Galoisova skupina z E přes K. je kanonicky izomorfní s ideální třídní skupina z K. použitím Frobenius prvky pro hlavní ideály v K..
V této souvislosti pole třídy Hilberta z K. není jen unramified na konečná místa (klasický ideální teoretický výklad), ale také na nekonečných místech K.. To je každý skutečné vkládání z K. rozšiřuje na skutečné vložení E (spíše než ke složitému vkládání E).
Příklady
- Pokud je kruh celých čísel K. je jedinečná faktorizační doména, zejména pokud , pak K. je jeho vlastní pole třídy Hilbert.
- Nechat diskriminující . Pole má diskriminaci a stejně tak je všude unramified rozšíření K.a je to abelian. Za použití Minkowski vázán, to lze ukázat K. má číslo třídy 2. Proto je jeho pole třídy Hilbert . Non-hlavní ideál K. je (2, (1+√−15) / 2) a dovnitř L toto se stává hlavním ideálem ((1+√5)/2).
- Pole má třídu číslo 3. Její pole Hilbertovy třídy může být vytvořeno přilehlým kořenem x3 - x - 1, který má diskriminační -23.
- Chcete-li zjistit, proč je třeba brát v úvahu rozvětvení v archimedových prvočíslech, zvažte nemovitý kvadratické pole K. získá se připojením druhé odmocniny od 3 do Q. Toto pole má třídu číslo 1 a diskriminační 12, ale příponu K.(i)/K. diskriminační 9 = 32 je unramified na všech hlavních ideálech v K., tak K. připouští konečná abelianská rozšíření stupně většího než 1, ve kterých jsou všechny konečné prvočísla K. jsou unramified. To není v rozporu s polem třídy Hilberta K. bytost K. sám: každé správné konečné abelianské rozšíření K. musí rozvětvovat na nějakém místě a v rozšíření K.(i)/K. na archimédských místech je rozvětvení: skutečné vložení K. rozšířit na složité (spíše než skutečné) vložení K.(i).
- Podle teorie komplexní násobení, pole třídy Hilberta z imaginární kvadratické pole je generován hodnotou eliptická modulární funkce v generátoru pro kruh celých čísel (jako a Z-modul).
Dějiny
Existence (úzkého) pole třídy Hilberta pro dané pole čísla K. byl domněnkou David Hilbert (1902 ) a prokázáno Philipp Furtwängler.[1] Existence pole třídy Hilbert je cenným nástrojem při studiu struktury ideální třídní skupina daného pole.
Další vlastnosti
Pole třídy Hilberta E také splňuje následující:
- E je konečný Galois rozšíření z K. a [E : K.]=hK., kde hK. je číslo třídy z K..
- The ideální třídní skupina z K. je izomorfní do Galoisova skupina z E přes K..
- Každý ideál z ÓK. sahá do a hlavní ideál prodloužení kroužku ÓE (hlavní ideální věta ).
- Každý hlavní ideál P z ÓK. se rozkládá na produkt hK./F hlavní ideály ÓE, kde F je objednat z [P] v ideální třídě skupiny ÓK..
Ve skutečnosti, E je jedinečný pole splnění první, druhé a čtvrté vlastnosti.
Explicitní konstrukce
Li K. je imaginární kvadratický a A je eliptická křivka s komplexní násobení podle kruh celých čísel z K., poté sousedící s j-invariantní z A na K. dává pole třídy Hilbert.[2]
Zobecnění
v teorie pole, jeden studuje pole třídy paprsků s ohledem na daný modul, což je formální produkt prvotřídních ideálů (včetně, možná, archimédských). Pole třídy paprsků je maximální abelianské rozšíření nerozvětvené mimo prvočísla dělící modul a splňující konkrétní podmínku rozvětvení v prvočíslech dělících modul. Pole třídy Hilberta je potom polem třídy paprsku s ohledem na triviální modul 1.
The úzké pole třídy je pole třídy paprsků vzhledem k modulu skládajícímu se ze všech nekonečných prvočísel. Například výše uvedený argument to ukazuje je úzké třídní pole .
Poznámky
- ^ Furtwängler 1906
- ^ Věta II.4.1 z Silverman 1994
Reference
- Childress, Nancy (2009), Teorie pole třídy, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72490-4, ISBN 978-0-387-72489-8, PAN 2462595
- Furtwängler, Philipp (1906), „Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers“, Mathematische Annalen, 63 (1): 1–37, doi:10.1007 / BF01448421, JFM 37.0243.02, PAN 1511392, vyvoláno 2009-08-21
- Hilbert, David (1902) [1898], „Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper“, Acta Mathematica, 26 (1): 99–131, doi:10.1007 / BF02415486
- J. S. Milne, teorie pole v terénu (poznámky k kurzu jsou k dispozici na http://www.jmilne.org/math/ ). Viz kapitola Úvod poznámek, zejména str. 4.
- Silverman, Joseph H. (1994), Pokročilá témata v aritmetice eliptických křivek, Postgraduální texty z matematiky, 151, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94325-1
- Gras, Georges (2005), Teorie pole třídy: Od teorie k praxi, New York: Springer
Tento článek obsahuje materiál z pole třídy Existence Hilberta dne PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.